(FGV-SP) Em relação a um quadrilátero ABCD , sabe-se que med(BÂD) =120^circ, med(A B C)=med(A D C)=90^circ, A B=13 e A D=46. A medida do segmento A C é
a) 60
b) 62
c) 64
d) 65
e) 72

Passo 1

O enunciado trata de um quadrilátero ABCD com
  • ang<= BAD = 120^circ,
  • ang<= ABC = 90^circ,
  • ang<= ADC = 90^circ,
  • AB=13 e AD=46.
    Queremos calcular o comprimento de AC.
    Conteúdo necessário: escolha de sistema de coordenadas, distância entre pontos e produto escalar para condições de perpendicularidade.

Passo 2

Colocamos
A=(0,0),
fazendo AB ao longo do eixo x, logo
B=(13,0)
O segmento AD forma 120^circ com AB, então
D=l(46cos120^circ,;46sin120^circr) =(-23,;23raiz3)

Passo 3

A condição ang<= ABC=90^circ implica BCperpBA. Como BA é horizontal, BC é vertical e, portanto,
xC = xB = 13
Escrevemos então
C=(13,y)

Passo 4

A condição ang<= ADC=90^circ equivale a
DC,cdot,DA=0
Assim, com A=(0,0), D=(-23,23raiz3) e C=(13,y), temos
(C-D)cdot(A-D)= (13+23,;y-23raiz3)cdot(23,,-23raiz3)=0
Isso leva a
36cdot23+(y-23raiz3)(-23raiz3)=0 ;Longrightarrow; 828 -23raiz3,y +1587=0 ;Longrightarrow; y=241523raiz3=35raiz3
Logo
C=(13,,35raiz3)

Passo 5

Calculamos
AC = raiz(13-0)^2+(35raiz3-0)^2 =raiz13^2 + (35raiz3)^2 =raiz169 +1225cdot3 =raiz3844 =62

Resposta

62

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