(Unesp-SP) Os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo formam uma progressão aritmética. Qual o comprimento da hipotenusa se o perímetro do triângulo mede 12?
Triângulos quaisquer Polígonos regulares Comprimento da circunferência
Passo 1
O enunciado diz que temos um triângulo retângulo cujos comprimentos dos lados formam uma progressão aritmética e o perímetro é
. Queremos achar o comprimento da hipotenusa usando a definição de progressão aritmética e o Teorema de Pitágoras.
Passo 2
Se os lados estão em progressão aritmética, podemos chamá-los de
,
e
, sendo
o maior (hipotenusa). Como o perímetro é
, temos:
Passo 3
Somando os termos em
, obtemos
Logo os lados são
,
e
.
Passo 4
Aplicamos o Teorema de Pitágoras: a soma dos quadrados dos catetos
e
deve ser igual ao quadrado da hipotenusa
:
Passo 5
Expandindo e simplificando:
Passo 6
Assim, a hipotenusa é
Resposta
A hipotenusa mede
.