(Unesp-SP) Os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo formam uma progressão aritmética. Qual o comprimento da hipotenusa se o perímetro do triângulo mede 12?

Triângulos quaisquer Polígonos regulares Comprimento da circunferência

Passo 1

O enunciado diz que temos um triângulo retângulo cujos comprimentos dos lados formam uma progressão aritmética e o perímetro é 12. Queremos achar o comprimento da hipotenusa usando a definição de progressão aritmética e o Teorema de Pitágoras.

Passo 2

Se os lados estão em progressão aritmética, podemos chamá-los de (a-d), a e (a+d), sendo (a+d) o maior (hipotenusa). Como o perímetro é 12, temos:
(a-d) + a + (a+d) = 12

Passo 3

Somando os termos em (a-d)+a+(a+d)=12, obtemos
3a = 12 Longrightarrow a = 4
Logo os lados são 4-d, 4 e 4+d.

Passo 4

Aplicamos o Teorema de Pitágoras: a soma dos quadrados dos catetos (4-d) e 4 deve ser igual ao quadrado da hipotenusa (4+d):
(4-d)^2 + 4^2 = (4+d)^2

Passo 5

Expandindo e simplificando:
(16 - 8d + d^2) + 16 = 16 + 8d + d^2
32 - 8d = 16 + 8d
32 - 16 = 16d
16 = 16d Longrightarrow d = 1

Passo 6

Assim, a hipotenusa é
4 + d = 4 + 1 = 5

Resposta

A hipotenusa mede 5.

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