O filósofo grego Zenão de Eléia (início do século V a.C.) precipitou uma profunda crise no pensamento ocidental, criando alguns paradoxos engenhosos. Um deles, chamado muitas vezes de paradoxo da corrida e destinado a provar que o movimento é impossível, pode ser enunciado como se segue:
Não posso ir daqui para ali. Pois, para fazer isso, devo primeiro cobrir a metade da distância, depois a metade da distância que resta, depois a metade do que ainda resta e assim por diante. Esse processo pode sempre ser continuado e nunca pode ser completado num tempo finito.
Refute Zenão.
Passo 1
O enunciado afirma que, para percorrer de “aqui” até “ali” (distância
), precisamos primeiro cobrir metade dessa distância, depois metade do que resta, depois metade do que ainda resta, e assim por diante infinitamente, concluindo que nunca terminaríamos em tempo finito. O conteúdo aqui é o estudo de séries infinitas (geometricas) e seu limite, e vamos usar a soma de uma série geométrica e a ideia de limite para mostrar que essa soma é finita.
Passo 2
Modelamos cada trecho sucessivo como um termo de uma série geométrica. O primeiro trecho tem comprimento
o segundo
o terceiro
e assim por diante. Em geral, o
-ésimo trecho tem comprimento
Passo 3
O total da distância percorrida é a soma infinita
Como se trata de uma série geométrica de primeiro termo
e razão
, sabemos que
Ou seja, apesar de infinitos termos, a soma total é exatamente
.
Passo 4
Para incluir o tempo, suponha velocidade constante
. Então o tempo gasto em cada trecho é
E o tempo total é
que é finito.
Passo 5
Concluímos que, mesmo havendo infinitos trechos, tanto a soma dos comprimentos quanto a soma dos tempos convergem a valores finitos (
e
, respectivamente). Logo não há obstáculo matemático para completar o percurso em tempo finito, refutando o paradoxo de Zenão.
Resposta
O movimento é possível porque a série geométrica de distâncias
converge a
e o tempo total
converge a
, ambos finitos.