O filósofo grego Zenão de Eléia (início do século V a.C.) precipitou uma profunda crise no pensamento ocidental, criando alguns paradoxos engenhosos. Um deles, chamado muitas vezes de paradoxo da corrida e destinado a provar que o movimento é impossível, pode ser enunciado como se segue:
Não posso ir daqui para ali. Pois, para fazer isso, devo primeiro cobrir a metade da distância, depois a metade da distância que resta, depois a metade do que ainda resta e assim por diante. Esse processo pode sempre ser continuado e nunca pode ser completado num tempo finito.
Refute Zenão.

Passo 1

O enunciado afirma que, para percorrer de “aqui” até “ali” (distância D), precisamos primeiro cobrir metade dessa distância, depois metade do que resta, depois metade do que ainda resta, e assim por diante infinitamente, concluindo que nunca terminaríamos em tempo finito. O conteúdo aqui é o estudo de séries infinitas (geometricas) e seu limite, e vamos usar a soma de uma série geométrica e a ideia de limite para mostrar que essa soma é finita.

Passo 2

Modelamos cada trecho sucessivo como um termo de uma série geométrica. O primeiro trecho tem comprimento
D2,
o segundo
D2^2,
o terceiro
D2^3,
e assim por diante. Em geral, o n-ésimo trecho tem comprimento
an = D2^n

Passo 3

O total da distância percorrida é a soma infinita
sumn=1^infty an ;=;sumn=1^inftyD2^n
Como se trata de uma série geométrica de primeiro termo a=tfracD2 e razão r=tfrac12, sabemos que
sumn=1^inftyD2^n = a1-r = tfracD21-tfrac12 = D
Ou seja, apesar de infinitos termos, a soma total é exatamente D.

Passo 4

Para incluir o tempo, suponha velocidade constante v>0. Então o tempo gasto em cada trecho é
tn = anv = D2^n,v
E o tempo total é
sumn=1^inftytn = 1vsumn=1^inftyD2^n = Dv,
que é finito.

Passo 5

Concluímos que, mesmo havendo infinitos trechos, tanto a soma dos comprimentos quanto a soma dos tempos convergem a valores finitos ( D e D/v, respectivamente). Logo não há obstáculo matemático para completar o percurso em tempo finito, refutando o paradoxo de Zenão.

Resposta

O movimento é possível porque a série geométrica de distâncias sumn=1^inftyD2^n converge a D e o tempo total sumn=1^inftyD2^n v converge a tfracDv, ambos finitos.

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