2.5.8 A física moderna dá grande realce à propriedade de paridade - quer uma quantidade permaneça invariante ou mude de sinal sob uma inversão do sistema coordenado. Em coordenadas cartesianas isso quer dizer x -x, y -y e z -z.
(a) Mostre que a inversão (reflexão passando pela origem) de um ponto (r, theta, varphi) relativa aos eixos fixos x, y, z consiste na transformação
r r, theta pi-theta, varphi varphi pm pi
(b) Mostre que r e varphi têm paridade ímpar (reversão de direção) e que theta tem paridade par.

Passo 1

O enunciado trata da transformação de paridade (inversão dos três eixos) em coordenadas esféricas (r,theta,varphi). Precisamos usar a relação entre coordenadas esféricas e cartesianas e a forma dos vetores unitários r, boldsymboltheta e boldsymbolvarphi em função de x, y, z.

Passo 2

Escrevemos as coordenadas cartesianas em função de (r,theta,varphi)
x = rsinthetacosvarphi, y = rsinthetasinvarphi, z = rcostheta
e aplicamos a inversão xto -x,;yto -y,;zto -z.

Passo 3

O raio invertido é
r' = raizx'^2 + y'^2 + z'^2 = raiz(-x)^2+(-y)^2+(-z)^2 = r
e o ângulo polar satisfaz
costheta' = z'r' = -zr = -costheta
consequentemente
theta' = pi - theta

Passo 4

Para o ângulo azimutal usamos
tanvarphi' = y'x' = -y-x = yx = tanvarphi
como tan(varphi+pi)=tanvarphi, concluímos
varphi' = varphi pm pi

Passo 5

O vetor unitário radial é
r = sinthetacosvarphi, x + sinthetasinvarphi, y + costheta, z
Substituindo theta' e varphi' obtemos
r' = sin(pi-theta)cos(varphipmpi), x + sin(pi-theta)sin(varphipmpi), y + cos(pi-theta), z = -, r

Passo 6

O vetor unitário polar é
boldsymboltheta = costhetacosvarphi, x + costhetasinvarphi, y - sintheta, z
Substituindo:
boldsymboltheta' = cos(pi-theta)cos(varphipmpi), x + cos(pi-theta)sin(varphipmpi), y - sin(pi-theta), z = boldsymboltheta

Passo 7

O vetor unitário azimutal é
boldsymbolvarphi = -sinvarphi, x + cosvarphi, y
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boldsymbolvarphi' = -sin(varphipmpi), x + cos(varphipmpi), y = -,boldsymbolvarphi

Resposta

(a)
r r, theta pi-theta, varphi varphipmpi
(b) r e boldsymbolvarphi mudam de sinal (paridade ímpar) e boldsymboltheta permanece igual (paridade par).

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