2.5.8 A física moderna dá grande realce à propriedade de paridade - quer uma quantidade permaneça invariante ou mude de sinal sob uma inversão do sistema coordenado. Em coordenadas cartesianas isso quer dizer
e
.
(a) Mostre que a inversão (reflexão passando pela origem) de um ponto
relativa aos eixos fixos
consiste na transformação
(b) Mostre que
e
têm paridade ímpar (reversão de direção) e que
tem paridade par.
(a) Mostre que a inversão (reflexão passando pela origem) de um ponto
Passo 1
O enunciado trata da transformação de paridade (inversão dos três eixos) em coordenadas esféricas
. Precisamos usar a relação entre coordenadas esféricas e cartesianas e a forma dos vetores unitários
,
e
em função de
.
Passo 2
Escrevemos as coordenadas cartesianas em função de
e aplicamos a inversão
.
Passo 3
O raio invertido é
e o ângulo polar satisfaz
consequentemente
Passo 4
Para o ângulo azimutal usamos
como
, concluímos
Passo 5
O vetor unitário radial é
Substituindo
e
obtemos
Passo 6
O vetor unitário polar é
Substituindo:
Passo 7
O vetor unitário azimutal é
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Resposta
(a)
(b)
e
mudam de sinal (paridade ímpar) e
permanece igual (paridade par).