2.5.8 A física moderna dá grande realce à propriedade de paridade - quer uma quantidade permaneça invariante ou mude de sinal sob uma inversão do sistema coordenado. Em coordenadas cartesianas isso quer dizer x \rightarrow-x, y \rightarrow-y e z \rightarrow-z.
(a) Mostre que a inversão (reflexão passando pela origem) de um ponto (r, \theta, \varphi) relativa aos eixos fixos x, y, z consiste na transformação
r \rightarrow r, \quad \theta \rightarrow \pi-\theta, \quad \varphi \rightarrow \varphi \pm \pi
(b) Mostre que \hat{\mathbf{r}} e \hat{\varphi} têm paridade ímpar (reversão de direção) e que \hat{\boldsymbol{\theta}} tem paridade par.

Passo 1

O enunciado trata da transformação de paridade (inversão dos três eixos) em coordenadas esféricas (r,\theta,\varphi). Precisamos usar a relação entre coordenadas esféricas e cartesianas e a forma dos vetores unitários \hat{\mathbf r}, \hat{\boldsymbol\theta} e \hat{\boldsymbol\varphi} em função de \hat{\mathbf x},\hat{\mathbf y},\hat{\mathbf z}.

Passo 2

Escrevemos as coordenadas cartesianas em função de (r,\theta,\varphi)
x = r\sin\theta\cos\varphi,\quad y = r\sin\theta\sin\varphi,\quad z = r\cos\theta
e aplicamos a inversão x\to -x,\;y\to -y,\;z\to -z.

Passo 3

O raio invertido é
r' = \sqrt{x'^2 + y'^2 + z'^2} = \sqrt{(-x)^2+(-y)^2+(-z)^2} = r
e o ângulo polar satisfaz
\cos\theta' = \frac{z'}{r'} = -\frac{z}{r} = -\cos\theta
consequentemente
\theta' = \pi - \theta

Passo 4

Para o ângulo azimutal usamos
\tan\varphi' = \frac{y'}{x'} = \frac{-y}{-x} = \frac{y}{x} = \tan\varphi
como \tan(\varphi+\pi)=\tan\varphi, concluímos
\varphi' = \varphi \pm \pi

Passo 5

O vetor unitário radial é
\hat{\mathbf r} = \sin\theta\cos\varphi\,\hat{\mathbf x} + \sin\theta\sin\varphi\,\hat{\mathbf y} + \cos\theta\,\hat{\mathbf z}
Substituindo \theta' e \varphi' obtemos
\hat{\mathbf r}' = \sin(\pi-\theta)\cos(\varphi\pm\pi)\,\hat{\mathbf x} + \sin(\pi-\theta)\sin(\varphi\pm\pi)\,\hat{\mathbf y} + \cos(\pi-\theta)\,\hat{\mathbf z} = -\,\hat{\mathbf r}

Passo 6

O vetor unitário polar é
\hat{\boldsymbol\theta} = \cos\theta\cos\varphi\,\hat{\mathbf x} + \cos\theta\sin\varphi\,\hat{\mathbf y} - \sin\theta\,\hat{\mathbf z}
Substituindo:
\hat{\boldsymbol\theta}' = \cos(\pi-\theta)\cos(\varphi\pm\pi)\,\hat{\mathbf x} + \cos(\pi-\theta)\sin(\varphi\pm\pi)\,\hat{\mathbf y} - \sin(\pi-\theta)\,\hat{\mathbf z} = \hat{\boldsymbol\theta}

Passo 7

O vetor unitário azimutal é
\hat{\boldsymbol\varphi} = -\sin\varphi\,\hat{\mathbf x} + \cos\varphi\,\hat{\mathbf y}
Logo
\hat{\boldsymbol\varphi}' = -\sin(\varphi\pm\pi)\,\hat{\mathbf x} + \cos(\varphi\pm\pi)\,\hat{\mathbf y} = -\,\hat{\boldsymbol\varphi}

Resposta

(a)
r \rightarrow r,\quad \theta \rightarrow \pi-\theta,\quad \varphi \rightarrow \varphi\pm\pi
(b) \hat{\mathbf r} e \hat{\boldsymbol\varphi} mudam de sinal (paridade ímpar) e \hat{\boldsymbol\theta} permanece igual (paridade par).

Exercícios de Livros Relacionados