2.5.18 Mostre que as três formas seguintes (coordenadas esféricas) de
são equivalentes:
(a)
;
(b)
(c)
.
A segunda forma é particularmente conveniente para estabelecer a correspondência entre as descrições polares esféricas e as descrições cartesianas de um problema.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que as três expressões abaixo são equivalentes e representam o operador laplaciano radial para uma função que depende apenas de
em coordenadas esféricas:
(a)
(b)
(c)
Vamos usar derivação de funções de uma variável e a regra do produto para mostrar que (a) (b)
(c).
(a)
(b)
(c)
Vamos usar derivação de funções de uma variável e a regra do produto para mostrar que (a)
Passo 2
Começando por (a):
Pela regra do produto,
Logo,
que coincide exatamente com a forma (c).
Passo 3
Agora a expressão (b):
Primeiro derivamos uma vez:
Derivando novamente,
Dividindo por
obtemos
que de novo é a forma (c).
Resposta
As três expressões são iguais a
e, portanto, são equivalentes.