2.5.18 Mostre que as três formas seguintes (coordenadas esféricas) de \boldsymbol{\nabla}^{2} \psi(r) são equivalentes:
(a) \frac{1}{r^{2}} \frac{d}{d r}\left[r^{2} \frac{d \psi(r)}{d r}\right];
(b) \frac{1}{r} \frac{d^{2}}{d r^{2}}[r \psi(r)] ;
(c) \frac{d^{2} \psi(r)}{d r^{2}}+\frac{2}{r} \frac{d \psi(r)}{d r}.
A segunda forma é particularmente conveniente para estabelecer a correspondência entre as descrições polares esféricas e as descrições cartesianas de um problema.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as três expressões abaixo são equivalentes e representam o operador laplaciano radial para uma função que depende apenas de r em coordenadas esféricas:
(a) \displaystyle \frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\Bigl[r^{2}\frac{d\psi(r)}{dr}\Bigr]
(b) \displaystyle \frac{1}{r}\,\frac{d^{2}}{dr^{2}}\bigl[r\,\psi(r)\bigr]
(c) \displaystyle \frac{d^{2}\psi(r)}{dr^{2}}+\frac{2}{r}\,\frac{d\psi(r)}{dr}.
Vamos usar derivação de funções de uma variável e a regra do produto para mostrar que (a) \; =(b) \; =(c).

Passo 2

Começando por (a):
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\Bigl[r^{2}\psi'(r)\Bigr].
Pela regra do produto,
\frac{d}{dr}\bigl[r^{2}\psi'(r)\bigr] =2r\,\psi'(r)+r^{2}\,\psi''(r).
Logo,
\frac{1}{r^{2}}\bigl(2r\,\psi'(r)+r^{2}\,\psi''(r)\bigr) =\psi''(r)+\frac{2}{r}\,\psi'(r),
que coincide exatamente com a forma (c).

Passo 3

Agora a expressão (b):
\frac{1}{r}\,\frac{d^{2}}{dr^{2}}\bigl[r\,\psi(r)\bigr].
Primeiro derivamos uma vez:
\frac{d}{dr}\bigl[r\,\psi(r)\bigr] =\psi(r)+r\,\psi'(r).
Derivando novamente,
\frac{d^{2}}{dr^{2}}\bigl[r\,\psi(r)\bigr] =\psi'(r)+\bigl[\psi'(r)+r\,\psi''(r)\bigr] =2\,\psi'(r)+r\,\psi''(r).
Dividindo por r obtemos
\frac{1}{r}\bigl(2\,\psi'(r)+r\,\psi''(r)\bigr) =\psi''(r)+\frac{2}{r}\,\psi'(r),
que de novo é a forma (c).

Resposta

As três expressões são iguais a
\psi''(r)+\frac{2}{r}\,\psi'(r)
e, portanto, são equivalentes.

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