2.5.18 Mostre que as três formas seguintes (coordenadas esféricas) de nabla^2 psi(r) são equivalentes:
(a) 1r^2 dd r[r^2 d psi(r)d r];
(b) 1r d^2d r^2[r psi(r)] ;
(c) d^2 psi(r)d r^2+2r d psi(r)d r.
A segunda forma é particularmente conveniente para estabelecer a correspondência entre as descrições polares esféricas e as descrições cartesianas de um problema.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as três expressões abaixo são equivalentes e representam o operador laplaciano radial para uma função que depende apenas de r em coordenadas esféricas:
(a) 1r^2ddrl[r^2dpsi(r)drr]
(b) 1r,d^2dr^2l[r,psi(r)r]
(c) d^2psi(r)dr^2+2r,dpsi(r)dr
Vamos usar derivação de funções de uma variável e a regra do produto para mostrar que (a) ; = (b) ; = (c).

Passo 2

Começando por (a):
1r^2ddrl[r^2psi'(r)r]
Pela regra do produto,
ddrl[r^2psi'(r)r] =2r,psi'(r)+r^2,psi''(r)
Logo,
1r^2l(2r,psi'(r)+r^2,psi''(r)r) =psi''(r)+2r,psi'(r),
que coincide exatamente com a forma (c).

Passo 3

Agora a expressão (b):
1r,d^2dr^2l[r,psi(r)r]
Primeiro derivamos uma vez:
ddrl[r,psi(r)r] =psi(r)+r,psi'(r)
Derivando novamente,
d^2dr^2l[r,psi(r)r] =psi'(r)+l[psi'(r)+r,psi''(r)r] =2,psi'(r)+r,psi''(r)
Dividindo por r obtemos
1rl(2,psi'(r)+r,psi''(r)r) =psi''(r)+2r,psi'(r),
que de novo é a forma (c).

Resposta

As três expressões são iguais a
psi''(r)+2r,psi'(r)
e, portanto, são equivalentes.

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