2.5.19 Um modelo da coroa solar admite que a equação de estado estável de fluxo de calor,
nabla cdot(k nabla T)=0,
é satisfeita. Aqui, k, a condutividade térmica é proporcional a T^5 / 2. Admitindo que a temperatura T é proporcional a r^n, mostre que a equação de fluxo de calor é satisfeita por T=T0(r0 / r)^2 / 7.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em regime estacionário de fluxo de calor com condutividade térmica kpropto T^5/2 e supondo solução radial T(r)propto r^n, a equação
nablacdotl(k,nablaTr)=0
é satisfeita por
T=T0l(r0rr)^2/7
Para resolver isso, vamos:
  1. usar a simetria esférica para reescrever a divergência em função de r;
  2. substituir k=k0T^5/2;
  3. assumir T(r)=B,r^n e determinar n e B.

Passo 2

Em coordenas esféricas, se T depende só de r, a equação
nablacdot(k,nablaT)=0
vira
1r^2ddr!l[r^2,k(r),dTdrr]=0

Passo 3

Como kpropto T^5/2, escrevemos k=k0,T^5/2. A equação do passo anterior dá então
ddr!l[r^2,T^5/2,dTdrr]=0 Longrightarrow r^2,T^5/2,dTdr=A,
onde A é constante de integração.

Passo 4

Assumimos agora
T(r)=B,r^n,
logo
dTdr=B,n,r^n-1
Substituindo em r^2T^5/2(dT/dr)=A obtemos
r^2,(B,r^n)^5/2,(B,n,r^n-1)=A Longrightarrow B^7/2,n,r^2+tfrac5n2+n-1=A
O expoente de r é 1+tfrac7n2, e para que o lado esquerdo seja independente de r precisamos de
1+7n2=0 Longrightarrow n=-27

Passo 5

Para ajustar a constante B, usamos a condição de contorno T(r0)=T0. Como T(r0)=B,r0^n, temos
B=;T0,r0^-n =;T0,r0^2/7
Assim a solução fica
T(r) = B,r^-2/7 = T0,r0^2/7,r^-2/7 = T0l(r0rr)^2/7

Resposta

T=T0l(r0rr)^2/7

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