2.5.19 Um modelo da coroa solar admite que a equação de estado estável de fluxo de calor,
\boldsymbol{\nabla} \cdot(k \boldsymbol{\nabla} T)=0,
é satisfeita. Aqui, k, a condutividade térmica é proporcional a T^{5 / 2}. Admitindo que a temperatura T é proporcional a r^{n}, mostre que a equação de fluxo de calor é satisfeita por T=T_{0}\left(r_{0} / r\right)^{2 / 7}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em regime estacionário de fluxo de calor com condutividade térmica k\propto T^{5/2} e supondo solução radial T(r)\propto r^n, a equação
\boldsymbol{\nabla}\cdot\bigl(k\,\boldsymbol{\nabla}T\bigr)=0
é satisfeita por
T=T_{0}\Bigl(\frac{r_{0}}{r}\Bigr)^{2/7}.
Para resolver isso, vamos:
  1. usar a simetria esférica para reescrever a divergência em função de r;
  2. substituir k=k_{0}T^{5/2};
  3. assumir T(r)=B\,r^{n} e determinar n e B.

Passo 2

Em coordenas esféricas, se T depende só de r, a equação
\boldsymbol{\nabla}\cdot(k\,\boldsymbol{\nabla}T)=0
vira
\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\!\Bigl[r^{2}\,k(r)\,\frac{dT}{dr}\Bigr]=0.

Passo 3

Como k\propto T^{5/2}, escrevemos k=k_{0}\,T^{5/2}. A equação do passo anterior dá então
\frac{d}{dr}\!\Bigl[r^{2}\,T^{5/2}\,\frac{dT}{dr}\Bigr]=0 \quad\Longrightarrow\quad r^{2}\,T^{5/2}\,\frac{dT}{dr}=A,
onde A é constante de integração.

Passo 4

Assumimos agora
T(r)=B\,r^{n},
logo
\frac{dT}{dr}=B\,n\,r^{n-1}.
Substituindo em r^{2}T^{5/2}(dT/dr)=A obtemos
r^{2}\,(B\,r^{n})^{5/2}\,(B\,n\,r^{n-1})=A \quad\Longrightarrow\quad B^{7/2}\,n\,r^{2+\tfrac{5n}{2}+n-1}=A.
O expoente de r é 1+\tfrac{7n}{2}, e para que o lado esquerdo seja independente de r precisamos de
1+\frac{7n}{2}=0 \quad\Longrightarrow\quad n=-\frac{2}{7}.

Passo 5

Para ajustar a constante B, usamos a condição de contorno T(r_{0})=T_{0}. Como T(r_{0})=B\,r_{0}^{n}, temos
B=\;T_{0}\,r_{0}^{-n} =\;T_{0}\,r_{0}^{2/7}.
Assim a solução fica
T(r) = B\,r^{-2/7} = T_{0}\,r_{0}^{2/7}\,r^{-2/7} = T_{0}\Bigl(\frac{r_{0}}{r}\Bigr)^{2/7}.

Resposta

T=T_{0}\Bigl(\frac{r_{0}}{r}\Bigr)^{2/7}.

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