2.5.19 Um modelo da coroa solar admite que a equação de estado estável de fluxo de calor,
é satisfeita. Aqui,
, a condutividade térmica é proporcional a
. Admitindo que a temperatura
é proporcional a
, mostre que a equação de fluxo de calor é satisfeita por
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em regime estacionário de fluxo de calor com condutividade térmica
e supondo solução radial
, a equação
é satisfeita por
Para resolver isso, vamos:
- usar a simetria esférica para reescrever a divergência em função de
; - substituir
; - assumir
e determinar e .
Passo 2
Em coordenas esféricas, se
depende só de
, a equação
vira
Passo 3
Como
, escrevemos
. A equação do passo anterior dá então
onde
é constante de integração.
Passo 4
Assumimos agora
logo
Substituindo em
obtemos
O expoente de
é
, e para que o lado esquerdo seja independente de
precisamos de
Passo 5
Para ajustar a constante
, usamos a condição de contorno
. Como
, temos
Assim a solução fica