2.5.5 Resolvas os vetores unitários cartesianos para suas componentes polares esféricas:
Passo 1
O problema pede para escrever os versores cartesianos
em função dos versores esféricos
. O conteúdo é mudança de base em coordenadas esféricas, usando a ortogonalidade da transformação. Vamos precisar das fórmulas conhecidas dos versores esféricos em termos dos cartesianos.
Passo 2
Em coordenadas esféricas
os versores esféricos são dados por
Passo 3
Como a matriz de transformação entre bases é ortogonal, a inversa é a transposta. Logo, as componentes de
na base esférica são os produtos internos
Portanto
Passo 4
De modo semelhante, para
calculamos
levando a
Passo 5
Finalmente, para
obtemos
e assim