2.5.5 Resolvas os vetores unitários cartesianos para suas componentes polares esféricas:
x & =r sen theta cos varphi+theta cos theta cos varphi-varphi sen varphi y & =r sen theta sen varphi+theta cos theta sen varphi+varphi cos varphi z & =r cos theta-theta sen theta

Passo 1

O problema pede para escrever os versores cartesianos x,y,z em função dos versores esféricos r,theta,varphi. O conteúdo é mudança de base em coordenadas esféricas, usando a ortogonalidade da transformação. Vamos precisar das fórmulas conhecidas dos versores esféricos em termos dos cartesianos.

Passo 2

Em coordenadas esféricas (r,theta,varphi) os versores esféricos são dados por
r &= sinthetacosvarphi,x ;+;sinthetasinvarphi,y;+;costheta,z, theta &= costhetacosvarphi,x ;+;costhetasinvarphi,y;-;sintheta,z, varphi &= -sinvarphi,x;+;cosvarphi,y,

Passo 3

Como a matriz de transformação entre bases é ortogonal, a inversa é a transposta. Logo, as componentes de x na base esférica são os produtos internos
xcdotr=sinthetacosvarphi, xcdottheta=costhetacosvarphi, xcdotvarphi=-sinvarphi
Portanto
x =sinthetacosvarphi,r +costhetacosvarphi,theta -sinvarphi,varphi

Passo 4

De modo semelhante, para y calculamos
ycdotr=sinthetasinvarphi, ycdottheta=costhetasinvarphi, ycdotvarphi=cosvarphi,
levando a
y =sinthetasinvarphi,r +costhetasinvarphi,theta +cosvarphi,varphi

Passo 5

Finalmente, para z obtemos
zcdotr=costheta, zcdottheta=-sintheta, zcdotvarphi=0,
e assim
z =costheta,r -sintheta,theta

Resposta

x =sinthetacosvarphi,r +costhetacosvarphi,theta -sinvarphi,varphi,
y =sinthetasinvarphi,r +costhetasinvarphi,theta +cosvarphi,varphi,
z =costheta,r -sintheta,theta

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