Fix 4.5: Sabe-se que p(x) é o polinômio do segundo grau que melhor aproxima f(x)=cos (x) perto do ponto x=pi. Determine: (a) p(pi); (b) p^prime(pi); (c) p^prime prime(pi).

Passo 1

O enunciado diz que p(x) é o polinômio de grau 2 que melhor aproxima f(x)=cos(x) perto de x=pi. Isso corresponde ao polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de a=pi. Vamos precisar das derivadas de f até a segunda ordem avaliadas em x=pi.

Passo 2

O polinômio de Taylor de grau 2 de f em a é dado por
p(x) = f(a) + f'(a),(x-a) + f''(a)2,(x-a)^2
Aqui temos a=pi, logo
p(x) = f(pi) + f'(pi),(x-pi) + f''(pi)2,(x-pi)^2

Passo 3

Calculamos f(pi). Como f(x)=cos(x),
f(pi) = cos(pi) = -1
Portanto
p(pi) = -1

Passo 4

Calculamos f'(x) = -sin(x). Em x=pi,
f'(pi) = -sin(pi) = 0
Logo
p'(pi) = 0

Passo 5

Calculamos f''(x) = -cos(x). Em x=pi,
f''(pi) = -cos(pi) = 1
Portanto
p''(pi) = 1

Resposta

(a) p(pi) = -1
(b) p'(pi) = 0
(c) p''(pi) = 1

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