1. Foram usados os números naturais de 26 até 575 inclusive, para numerar as casas de uma rua. Convencionou-se colocar uma lixeira na frente da casa que tivesse o algarismo 7 no seu número. Quantas lixeiras devem ser compradas?

Passo 1

O enunciado pede quantos números no intervalo de 26 a 575, inclusive, contêm pelo menos um dígito 7. O conteúdo aqui é contagem combinatória de números com restrição de dígitos.

Passo 2

Vamos usar o princípio da contagem complementar:
#com 7 ;=; #total;-;#sem nenhum 7

Passo 3

O número total de casas é
575 - 26 + 1 = 550

Passo 4

Para contar quantos não têm nenhum dígito 7 em [26,575], primeiro conto quantos não têm 7 em [0,575], e em seguida subtraio os que não têm 7 em [0,25].

Passo 5

Contagem de números de 0 a 575 sem dígito 7, usando representação de três dígitos (h,t,u):
  • Para h=0,1,2,3,4 (5 escolhas), cada tneq7 dá 9 opções e cada uneq7 dá 9 opções, total 5cdot9cdot9=405.
  • Para h=5, o número vai de 500 a 575. Se tin0,1,2,3,4,5,6 (7 escolhas, excluindo 7), então uneq7 dá 9 opções. Logo 7cdot9=63.
    Somando,
#0<= n<=575 sem 7 = 405 + 63 = 468

Passo 6

Contagem de números de 0 a 25 sem dígito 7: são 26 números no total, e apenas 7 e 17 têm 7. Logo
#0<= n<=25 sem 7 = 26 - 2 = 24

Passo 7

Assim, o total de números em [26,575] sem nenhum dígito 7 é
468 - 24 = 444

Passo 8

Finalmente, o número de casas que contêm pelo menos um dígito 7 é
550 - 444 = 106

Resposta

106 lixeiras devem ser compradas.

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