- Foram usados os números naturais de 26 até 575 inclusive, para numerar as casas de uma rua. Convencionou-se colocar uma lixeira na frente da casa que tivesse o algarismo 7 no seu número. Quantas lixeiras devem ser compradas?
Passo 1
O enunciado pede quantos números no intervalo de 26 a 575, inclusive, contêm pelo menos um dígito 7. O conteúdo aqui é contagem combinatória de números com restrição de dígitos.
Passo 2
Vamos usar o princípio da contagem complementar:
Passo 3
O número total de casas é
Passo 4
Para contar quantos não têm nenhum dígito 7 em
, primeiro conto quantos não têm 7 em
, e em seguida subtraio os que não têm 7 em
.
Passo 5
Contagem de números de
a
sem dígito 7, usando representação de três dígitos
:
- Para
(5 escolhas), cada dá 9 opções e cada dá 9 opções, total . - Para
, o número vai de 500 a 575. Se (7 escolhas, excluindo 7), então dá 9 opções. Logo .
Somando,
Passo 6
Contagem de números de
a
sem dígito 7: são
números no total, e apenas
e
têm 7. Logo
Passo 7
Assim, o total de números em
sem nenhum dígito 7 é
Passo 8
Finalmente, o número de casas que contêm pelo menos um dígito 7 é
Resposta
106 lixeiras devem ser compradas.