2.4.13 Uma força é descrita por
(a) Expresse
em coordenadas cilíndricas circulares.
Operando inteiramente em coordenadas cilíndricas circulares para (b) e (c),
(b) calcule o rotacional de
e
(c) calcule o trabalho realizado por
para percorrer o círculo unitário uma vez em sentido antihorário.
(d) Como você concilia os resultados de (b) e (c)?
(b) calcule o rotacional de
(c) calcule o trabalho realizado por
(d) Como você concilia os resultados de (b) e (c)?
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede:
(a) expressar em coordenadas cilíndricas circulares;
(b) calcular o rotacional de operando inteiramente em cilíndricas;
(c) calcular o trabalho de ao percorrer o círculo unitário uma vez em sentido antihorário;
(d) conciliar por que o rotacional pode ser nulo e o trabalho não.
Para isso, vamos usar ,
e a base
, além da fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas e a integral de linha.
(a) expressar
(b) calcular o rotacional de
(c) calcular o trabalho de
(d) conciliar por que o rotacional pode ser nulo e o trabalho não.
Para isso, vamos usar
Passo 2
Primeiro expressamos
em termos de
e
. Como
temos
Projetando em
e
:
Logo em cilíndricas
Passo 3
Em coordenadas cilíndricas, para
, o componente
do rotacional é
Aqui
,
,
. Então
E os outros componentes do rotacional também são zero.
Passo 4
Para o círculo unitário parametricamente
,
,
. Temos
Então
Passo 5
O rotacional é zero em todo ponto com
, mas o campo é singular em
. A região
não é simplesmente conexa, logo um campo com
não precisa ser conservativo globalmente. Assim, apesar de
, o laço que envolve a origem capta a singularidade e produz trabalho não nulo.
Resposta
(a)
.
(b) .
(c) .
(d) A região exclui a origem ( ), tornando o domínio não simplesmente conexo; daí
não implica campo conservativo global, e o loop em torno da singularidade dá trabalho
.
(b)
(c)
(d) A região exclui a origem (