2.4.13 Uma força é descrita por
\mathbf{F}=-\hat{\mathbf{x}} \frac{y}{x^{2}+y^{2}}+\hat{\mathbf{y}} \frac{x}{x^{2}+y^{2}} .
(a) Expresse \mathbf{F} em coordenadas cilíndricas circulares.
Operando inteiramente em coordenadas cilíndricas circulares para (b) e (c),
(b) calcule o rotacional de \mathbf{F} e
(c) calcule o trabalho realizado por \mathbf{F} para percorrer o círculo unitário uma vez em sentido antihorário.
(d) Como você concilia os resultados de (b) e (c)?

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{F} = -\hat{\mathbf{x}}\,\frac{y}{x^{2}+y^{2}} + \hat{\mathbf{y}}\,\frac{x}{x^{2}+y^{2}}
e pede:
(a) expressar \mathbf{F} em coordenadas cilíndricas circulares;
(b) calcular o rotacional de \mathbf{F} operando inteiramente em cilíndricas;
(c) calcular o trabalho de \mathbf{F} ao percorrer o círculo unitário uma vez em sentido antihorário;
(d) conciliar por que o rotacional pode ser nulo e o trabalho não.
Para isso, vamos usar x=\rho\cos\varphi, y=\rho\sin\varphi e a base \{\hat{\boldsymbol{\rho}},\hat{\boldsymbol{\varphi}},\hat{\mathbf{z}}\}, além da fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas e a integral de linha.

Passo 2

Primeiro expressamos \mathbf{F} em termos de \rho e \varphi. Como
x^{2}+y^{2} = \rho^{2},\quad \hat{\boldsymbol{\rho}} = \cos\varphi\,\hat{\mathbf{x}}+\sin\varphi\,\hat{\mathbf{y}},\quad \hat{\boldsymbol{\varphi}}=-\sin\varphi\,\hat{\mathbf{x}}+\cos\varphi\,\hat{\mathbf{y}},
temos
F_x = -\frac{y}{\rho^{2}} = -\frac{\rho\sin\varphi}{\rho^{2}} = -\frac{\sin\varphi}{\rho},\quad F_y = \frac{x}{\rho^{2}} = \frac{\rho\cos\varphi}{\rho^{2}} = \frac{\cos\varphi}{\rho}.
Projetando em \hat{\boldsymbol{\rho}} e \hat{\boldsymbol{\varphi}}:
\mathbf{F}\cdot\hat{\boldsymbol{\rho}} = F_x\cos\varphi + F_y\sin\varphi = 0, \quad \mathbf{F}\cdot\hat{\boldsymbol{\varphi}} = F_x(-\sin\varphi)+F_y\cos\varphi = \frac{1}{\rho}.
Logo em cilíndricas
\boxed{\mathbf{F} = \frac{1}{\rho}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}.}

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas, para \mathbf{F}=F_{\rho}\,\hat{\boldsymbol{\rho}}+F_{\varphi}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}+F_{z}\,\hat{\mathbf{z}}, o componente z do rotacional é
(\nabla\times\mathbf{F})_{z} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial(\rho\,F_{\varphi})}{\partial\rho} - \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial F_{\rho}}{\partial\varphi}.
Aqui F_{\rho}=0, F_{\varphi}=1/\rho, F_{z}=0. Então
(\nabla\times\mathbf{F})_{z} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial(\rho\cdot\frac{1}{\rho})}{\partial\rho} -0 = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial 1}{\partial\rho} = 0.
E os outros componentes do rotacional também são zero.
\boxed{\nabla\times\mathbf{F}=0.}

Passo 4

Para o círculo unitário parametricamente \rho=1, \varphi=t, t\in[0,2\pi]. Temos
\mathrm{d}\mathbf{r} = \hat{\boldsymbol{\rho}}\,\mathrm{d}\rho + \hat{\boldsymbol{\varphi}}\,\rho\,\mathrm{d}\varphi = \hat{\boldsymbol{\varphi}}\,\mathrm{d}t \quad(\text{pois }\mathrm{d}\rho=0,\\ \rho=1).
Então
\oint \mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r} = \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{\rho}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}\cdot(\hat{\boldsymbol{\varphi}}\,\mathrm{d}t) = \int_{0}^{2\pi} 1\,\mathrm{d}t = 2\pi.
\boxed{\text{Trabalho}=2\pi.}

Passo 5

O rotacional é zero em todo ponto com \rho>0, mas o campo é singular em \rho=0. A região \mathbb{R}^2\setminus\{0\} não é simplesmente conexa, logo um campo com \nabla\times\mathbf{F}=0 não precisa ser conservativo globalmente. Assim, apesar de \nabla\times\mathbf{F}=0, o laço que envolve a origem capta a singularidade e produz trabalho não nulo.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{F}=\frac{1}{\rho}\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}.
(b) \displaystyle \nabla\times\mathbf{F}=0.
(c) \displaystyle \oint_{C}\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{r}=2\pi.
(d) A região exclui a origem ( \rho=0), tornando o domínio não simplesmente conexo; daí \nabla\times\mathbf{F}=0 não implica campo conservativo global, e o loop em torno da singularidade dá trabalho 2\pi.

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