2.4.13 Uma força é descrita por
F=-x yx^2+y^2+y xx^2+y^2
(a) Expresse F em coordenadas cilíndricas circulares.
Operando inteiramente em coordenadas cilíndricas circulares para (b) e (c),
(b) calcule o rotacional de F e
(c) calcule o trabalho realizado por F para percorrer o círculo unitário uma vez em sentido antihorário.
(d) Como você concilia os resultados de (b) e (c)?

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
F = -x,yx^2+y^2 + y,xx^2+y^2
e pede:
(a) expressar F em coordenadas cilíndricas circulares;
(b) calcular o rotacional de F operando inteiramente em cilíndricas;
(c) calcular o trabalho de F ao percorrer o círculo unitário uma vez em sentido antihorário;
(d) conciliar por que o rotacional pode ser nulo e o trabalho não.
Para isso, vamos usar x=rhocosphi, y=rhosinphi e a base rho,phi,z, além da fórmula do rotacional em coordenadas cilíndricas e a integral de linha.

Passo 2

Primeiro expressamos F em termos de rho e phi. Como
x^2+y^2 = rho^2, rho = cosphi,x+sinphi,y, phi=-sinphi,x+cosphi,y,
temos
Fx = -yrho^2 = -rhosinphirho^2 = -sinphirho, Fy = xrho^2 = rhocosphirho^2 = cosphirho
Projetando em rho e phi:
Fcdotrho = Fxcosphi + Fysinphi = 0, Fcdotphi = Fx(-sinphi)+Fycosphi = 1rho
Logo em cilíndricas
boxedF = 1rho,phi

Passo 3

Em coordenadas cilíndricas, para F=Frho,rho+Fphi,phi+Fz,z, o componente z do rotacional é
(nablatimesF)z = 1rho,partial(rho,Fphi)partialrho - 1rho,partial Frhopartialphi
Aqui Frho=0, Fphi=1/rho, Fz=0. Então
(nablatimesF)z = 1rho,partial(rhocdot1rho)partialrho -0 = 1rho,partial 1partialrho = 0
E os outros componentes do rotacional também são zero.
boxednablatimesF=0

Passo 4

Para o círculo unitário parametricamente rho=1, phi=t, tin[0,2pi]. Temos
dr = rho,drho + phi,rho,dphi = phi,dt (pois drho=0, rho=1)
Então
oint Fcdotdr = integral0^2pi 1rho,phicdot(phi,dt) = integral0^2pi 1,dt = 2pi
boxedTrabalho=2pi

Passo 5

O rotacional é zero em todo ponto com rho>0, mas o campo é singular em rho=0. A região R^2setminus0 não é simplesmente conexa, logo um campo com nablatimesF=0 não precisa ser conservativo globalmente. Assim, apesar de nablatimesF=0, o laço que envolve a origem capta a singularidade e produz trabalho não nulo.

Resposta

(a) F=1rho,phi.
(b) nablatimesF=0.
(c) ointCFcdotdr=2pi.
(d) A região exclui a origem ( rho=0), tornando o domínio não simplesmente conexo; daí nablatimesF=0 não implica campo conservativo global, e o loop em torno da singularidade dá trabalho 2pi.

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