2.4.5 (a) Mostre que
.
(b) Trabalhando inteiramente em coordenadas cilíndricas circulares, mostre que
(b) Trabalhando inteiramente em coordenadas cilíndricas circulares, mostre que
Passo 1
O enunciado pede em (a) mostrar que o vetor posição
pode ser escrito em coordenadas cilíndricas como combinação das bases
e
, e em (b) calcular
e
inteiramente nessas coordenadas. Para isso, vamos usar a relação entre coordenadas cartesianas
e cilíndricas
e as fórmulas de divergência e rotor em coordenadas cilíndricas.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas temos
e as direções unitárias
Como
, substituímos:
Os termos em
se cancelam e os de
somam
, ficando
Passo 3
Agora, para (b), escrevemos
em componentes cilíndricas:
A divergência em coordenadas cilíndricas é
Substituindo
,
,
:
Passo 4
Para o rotor em coordenadas cilíndricas usamos as fórmulas
Como
,
e
, todas as derivadas cruzadas são nulas:
Resposta
(a)
(b)
(b)