2.4.5 (a) Mostre que r=rho rho+z z.
(b) Trabalhando inteiramente em coordenadas cilíndricas circulares, mostre que
nabla cdot r=3 e nabla times r=0

Passo 1

O enunciado pede em (a) mostrar que o vetor posição r pode ser escrito em coordenadas cilíndricas como combinação das bases rho e z, e em (b) calcular nablacdotr e nablatimesr inteiramente nessas coordenadas. Para isso, vamos usar a relação entre coordenadas cartesianas (x,y,z) e cilíndricas (rho,phi,z) e as fórmulas de divergência e rotor em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x = rhocosphi, y = rhosinphi, z=z
e as direções unitárias
i = cosphi,rho - sinphi,phi, j = sinphi,rho + cosphi,phi, k=z
Como r=x,i+y,j+z,k, substituímos:
r = rhocosphil(cosphi,rho - sinphi,phir) + rhosinphil(sinphi,rho + cosphi,phir) + z,z
Os termos em phi se cancelam e os de rho somam rho, ficando
r = rho,rho + z,z

Passo 3

Agora, para (b), escrevemos r em componentes cilíndricas:
r=(Arho,Aphi,Az)=(rho,,0,,z)
A divergência em coordenadas cilíndricas é
nablacdotA = 1rho,partialpartialrho(rho,Arho) + 1rho,partial Aphipartialphi + partial Azpartial z
Substituindo Arho=rho, Aphi=0, Az=z:
nablacdotr = 1rhopartialpartialrho(rho^2) + 0 + partial zpartial z = 1rhocdot 2rho + 1 = 2 + 1 = 3

Passo 4

Para o rotor em coordenadas cilíndricas usamos as fórmulas
(nablatimesA)rho = 1rhol(partial Azpartialphi - partialpartial z(rho,Aphi)r),
(nablatimesA)phi = partial Arhopartial z - partial Azpartialrho,
(nablatimesA)z = 1rhol(partialpartialrho(rho,Aphi) - partial Arhopartialphir)
Como Aphi=0, Arho=rho e Az=z, todas as derivadas cruzadas são nulas:
nablatimesr=0

Resposta

(a) r = rho,rho + z,z
(b) nablacdotr=3, nablatimesr=0

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