2.4.5 (a) Mostre que \mathbf{r}=\hat{\boldsymbol{\rho}} \rho+\hat{\mathbf{z}} z.
(b) Trabalhando inteiramente em coordenadas cilíndricas circulares, mostre que
\boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{r}=3 \quad \text { e } \quad \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{r}=0 .

Passo 1

O enunciado pede em (a) mostrar que o vetor posição \mathbf{r} pode ser escrito em coordenadas cilíndricas como combinação das bases \hat{\boldsymbol{\rho}} e \hat{\mathbf{z}}, e em (b) calcular \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{r} e \boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{r} inteiramente nessas coordenadas. Para isso, vamos usar a relação entre coordenadas cartesianas (x,y,z) e cilíndricas (\rho,\varphi,z) e as fórmulas de divergência e rotor em coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas temos
x = \rho\cos\varphi,\quad y = \rho\sin\varphi,\quad z=z
e as direções unitárias
\hat{\mathbf{i}} = \cos\varphi\,\hat{\boldsymbol{\rho}} - \sin\varphi\,\hat{\boldsymbol{\varphi}},\quad \hat{\mathbf{j}} = \sin\varphi\,\hat{\boldsymbol{\rho}} + \cos\varphi\,\hat{\boldsymbol{\varphi}},\quad \hat{\mathbf{k}}=\hat{\mathbf{z}}.
Como \mathbf{r}=x\,\hat{\mathbf{i}}+y\,\hat{\mathbf{j}}+z\,\hat{\mathbf{k}}, substituímos:
\mathbf{r} = \rho\cos\varphi\bigl(\cos\varphi\,\hat{\boldsymbol{\rho}} - \sin\varphi\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}\bigr) + \rho\sin\varphi\bigl(\sin\varphi\,\hat{\boldsymbol{\rho}} + \cos\varphi\,\hat{\boldsymbol{\varphi}}\bigr) + z\,\hat{\mathbf{z}}.
Os termos em \hat{\boldsymbol{\varphi}} se cancelam e os de \hat{\boldsymbol{\rho}} somam \rho, ficando
\mathbf{r} = \rho\,\hat{\boldsymbol{\rho}} + z\,\hat{\mathbf{z}}.

Passo 3

Agora, para (b), escrevemos \mathbf{r} em componentes cilíndricas:
\mathbf{r}=(A_{\rho},A_{\varphi},A_{z})=(\rho,\,0,\,z).
A divergência em coordenadas cilíndricas é
\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{A} = \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho\,A_{\rho}) + \frac{1}{\rho}\,\frac{\partial A_{\varphi}}{\partial\varphi} + \frac{\partial A_{z}}{\partial z}.
Substituindo A_{\rho}=\rho, A_{\varphi}=0, A_{z}=z:
\boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{r} = \frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho^2) + 0 + \frac{\partial z}{\partial z} = \frac{1}{\rho}\cdot 2\rho + 1 = 2 + 1 = 3.

Passo 4

Para o rotor em coordenadas cilíndricas usamos as fórmulas
(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A})_{\rho} = \frac{1}{\rho}\Bigl(\frac{\partial A_{z}}{\partial\varphi} - \frac{\partial}{\partial z}(\rho\,A_{\varphi})\Bigr),
(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A})_{\varphi} = \frac{\partial A_{\rho}}{\partial z} - \frac{\partial A_{z}}{\partial\rho},
(\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{A})_{z} = \frac{1}{\rho}\Bigl(\frac{\partial}{\partial\rho}(\rho\,A_{\varphi}) - \frac{\partial A_{\rho}}{\partial\varphi}\Bigr).
Como A_{\varphi}=0, A_{\rho}=\rho e A_{z}=z, todas as derivadas cruzadas são nulas:
\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{r}=0.

Resposta

(a) \displaystyle \mathbf{r} = \rho\,\hat{\boldsymbol{\rho}} + z\,\hat{\mathbf{z}}.
(b) \displaystyle \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{r}=3,\quad \boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{r}=0.

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