2.4.9 Resolva a Equação de Laplace,
, em coordenadas cilíndricas para
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação de Laplace
em coordenadas cilíndricas assumindo simetria radial, isto é,
. Para isso vamos usar a forma do laplaciano em coordenadas cilíndricas para funções que dependem apenas de
.
Passo 2
Em coordenadas cilíndricas, se
não há dependência em
nem em
e o laplaciano reduz-se a
A equação
fica então
Passo 3
Multiplicando por
e integrando em relação a
, obtemos
onde
é constante de integração.
Passo 4
Isolando
e integrando novamente, temos
com
outra constante de integração.
Passo 5
Reescrevendo as constantes em forma conveniente, defina
e escolha
tal que
. Assim