2.4.9 Resolva a Equação de Laplace, nabla^2 psi=0, em coordenadas cilíndricas para psi=psi(rho).
Resposta: psi=k ln rhorho0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Laplace
nabla^2psi = 0
em coordenadas cilíndricas assumindo simetria radial, isto é, psi=psi(rho). Para isso vamos usar a forma do laplaciano em coordenadas cilíndricas para funções que dependem apenas de rho.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, se psi=psi(rho) não há dependência em phi nem em z e o laplaciano reduz-se a
nabla^2psi = 1rhoddrho!gl(rho,dpsidrhogr)
A equação nabla^2psi=0 fica então
1rhoddrho!l(rho,psi'(rho)r) = 0

Passo 3

Multiplicando por rho e integrando em relação a rho, obtemos
ddrho!l(rho,psi'(rho)r) = 0 Longrightarrow rho,psi'(rho) = C1,
onde C1 é constante de integração.

Passo 4

Isolando psi'(rho) e integrando novamente, temos
psi'(rho) = C1rho Longrightarrow psi(rho) = C1integraldrhorho + C2 = C1ln(rho) + C2,
com C2 outra constante de integração.

Passo 5

Reescrevendo as constantes em forma conveniente, defina k = C1 e escolha rho0 tal que C2 = -C1ln(rho0). Assim
psi(rho) = kln(rho) - kln(rho0) = kln!l(rhorho0r)

Resposta

psi(rho) = k lnrhorho0

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