2.4.9 Resolva a Equação de Laplace, \nabla^{2} \psi=0, em coordenadas cilíndricas para \psi=\psi(\rho).
\text { Resposta: } \psi=k \ln \frac{\rho}{\rho_{0}}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Laplace
\nabla^2\psi = 0
em coordenadas cilíndricas assumindo simetria radial, isto é, \psi=\psi(\rho). Para isso vamos usar a forma do laplaciano em coordenadas cilíndricas para funções que dependem apenas de \rho.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, se \psi=\psi(\rho) não há dependência em \varphi nem em z e o laplaciano reduz-se a
\nabla^2\psi = \frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\!\biggl(\rho\,\frac{d\psi}{d\rho}\biggr).
A equação \nabla^2\psi=0 fica então
\frac{1}{\rho}\frac{d}{d\rho}\!\bigl(\rho\,\psi'(\rho)\bigr) = 0.

Passo 3

Multiplicando por \rho e integrando em relação a \rho, obtemos
\frac{d}{d\rho}\!\bigl(\rho\,\psi'(\rho)\bigr) = 0 \quad\Longrightarrow\quad \rho\,\psi'(\rho) = C_1,
onde C_1 é constante de integração.

Passo 4

Isolando \psi'(\rho) e integrando novamente, temos
\psi'(\rho) = \frac{C_1}{\rho} \quad\Longrightarrow\quad \psi(\rho) = C_1\int\frac{d\rho}{\rho} + C_2 = C_1\ln(\rho) + C_2,
com C_2 outra constante de integração.

Passo 5

Reescrevendo as constantes em forma conveniente, defina k = C_1 e escolha \rho_0 tal que C_2 = -C_1\ln(\rho_0). Assim
\psi(\rho) = k\ln(\rho) - k\ln(\rho_0) = k\ln\!\Bigl(\frac{\rho}{\rho_0}\Bigr).

Resposta

\psi(\rho) = k \ln\frac{\rho}{\rho_{0}}

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