2.4.10 Em coordenadas cilíndricas circulares voltadas para a direita, uma determinada função vetorial é dada por
V(rho, varphi)=rho Vrho(rho, varphi)+varphi Vvarphi(rho, varphi)
Mostre que nabla times V tem somente uma componente z. Note que esse resultado valerá para qualquer vetor confinado à superfície q3= constante, contanto que cada um dos produtos h1 V1 e h2 V2 seja independente de q3.

Passo 1

O enunciado nos dá um campo vetorial em coordenadas cilíndricas
V(rho,varphi)=rho,Vrho(rho,varphi) +varphi,Vvarphi(rho,varphi)
que vive na superfície z= constante (isto é, não tem componente em z). Queremos mostrar que o rotacional nablatimesV só tem componente na direção z. Para isso vamos usar a fórmula do rotacional em coordenadas curvilíneas ortogonais.

Passo 2

Em coordenadas ortogonais (q1,q2,q3) com fatores de escala h1,h2,h3, as componentes do rotacional de um vetor A= eiAi são
(nablatimesA)1 =1h2h3l[partialpartial q2l(h3A3r) -partialpartial q3l(h2A2r)r],
(nablatimesA)2 =1h3h1l[partialpartial q3l(h1A1r) -partialpartial q1l(h3A3r)r],
(nablatimesA)3 =1h1h2l[partialpartial q1l(h2A2r) -partialpartial q2l(h1A1r)r]

Passo 3

Identificamos para cilíndricas:
q1=rho, q2=varphi, q3=z,
h1=1, h2=rho, h3=1,
e o vetor V tem V3=0. Além disso h2V2=rho,Vvarphi e h1V1=Vrho são independentes de z. Assim
(nablatimesV)1 =1h2h3l[0-partialpartial z(rho,Vvarphi)r] =0,
(nablatimesV)2 =1h3h1l[partialpartial z(Vrho)-0r] =0

Passo 4

A única componente possível é a terceira:
(nablatimesV)3 =1h1h2l[partialpartial rho(rho,Vvarphi) -partialpartial varphi(Vrho)r] =1rhol[partialpartial rho(rho,Vvarphi) -partial Vrhopartial varphir]
Logo
nablatimesV = z,1rhol[partialrho(rho,Vvarphi) -partialvarphiVrhor]

Passo 5

O que fizemos vale em geral para qualquer sistema curvilíneo ortogonal em que o vetor é confinado à superfície q3= constante e os produtos h1V1 e h2V2 não dependam de q3: as duas primeiras componentes do rotacional se anulam e sobra apenas a terceira.

Resposta

nablatimesV = z,1rhol[partialpartial rho(rho,Vvarphi) -partial Vrhopartial varphir],
isto é, o rotacional tem somente componente z.

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