2.4.10 Em coordenadas cilíndricas circulares voltadas para a direita, uma determinada função vetorial é dada por
Mostre que
tem somente uma componente
. Note que esse resultado valerá para qualquer vetor confinado à superfície
constante, contanto que cada um dos produtos
e
seja independente de
.
Passo 1
O enunciado nos dá um campo vetorial em coordenadas cilíndricas
que vive na superfície
constante (isto é, não tem componente em
). Queremos mostrar que o rotacional
só tem componente na direção
. Para isso vamos usar a fórmula do rotacional em coordenadas curvilíneas ortogonais.
Passo 2
Em coordenadas ortogonais
com fatores de escala
, as componentes do rotacional de um vetor
são
Passo 3
Identificamos para cilíndricas:
e o vetor
tem
. Além disso
e
são independentes de
. Assim
Passo 4
A única componente possível é a terceira:
Logo
Passo 5
O que fizemos vale em geral para qualquer sistema curvilíneo ortogonal em que o vetor é confinado à superfície
constante e os produtos
e
não dependam de
: as duas primeiras componentes do rotacional se anulam e sobra apenas a terceira.
Resposta
isto é, o rotacional tem somente componente
.