2.4.10 Em coordenadas cilíndricas circulares voltadas para a direita, uma determinada função vetorial é dada por
\mathbf{V}(\rho, \varphi)=\hat{\boldsymbol{\rho}} V_{\rho}(\rho, \varphi)+\hat{\boldsymbol{\varphi}} V_{\varphi}(\rho, \varphi) .
Mostre que \boldsymbol{\nabla} \times \mathbf{V} tem somente uma componente z. Note que esse resultado valerá para qualquer vetor confinado à superfície q_{3}= constante, contanto que cada um dos produtos h_{1} V_{1} e h_{2} V_{2} seja independente de q_{3}.

Passo 1

O enunciado nos dá um campo vetorial em coordenadas cilíndricas
\mathbf{V}(\rho,\varphi)=\hat{\boldsymbol{\rho}}\,V_{\rho}(\rho,\varphi) +\hat{\boldsymbol{\varphi}}\,V_{\varphi}(\rho,\varphi)
que vive na superfície z= constante (isto é, não tem componente em \hat{\mathbf z}). Queremos mostrar que o rotacional \nabla\times\mathbf{V} só tem componente na direção z. Para isso vamos usar a fórmula do rotacional em coordenadas curvilíneas ortogonais.

Passo 2

Em coordenadas ortogonais (q_{1},q_{2},q_{3}) com fatores de escala h_{1},h_{2},h_{3}, as componentes do rotacional de um vetor \mathbf{A}= \hat{\mathbf e}_{i}A_{i} são
(\nabla\times\mathbf{A})_{1} =\frac{1}{h_{2}h_{3}}\Bigl[\frac{\partial}{\partial q_{2}}\bigl(h_{3}A_{3}\bigr) -\frac{\partial}{\partial q_{3}}\bigl(h_{2}A_{2}\bigr)\Bigr],
(\nabla\times\mathbf{A})_{2} =\frac{1}{h_{3}h_{1}}\Bigl[\frac{\partial}{\partial q_{3}}\bigl(h_{1}A_{1}\bigr) -\frac{\partial}{\partial q_{1}}\bigl(h_{3}A_{3}\bigr)\Bigr],
(\nabla\times\mathbf{A})_{3} =\frac{1}{h_{1}h_{2}}\Bigl[\frac{\partial}{\partial q_{1}}\bigl(h_{2}A_{2}\bigr) -\frac{\partial}{\partial q_{2}}\bigl(h_{1}A_{1}\bigr)\Bigr].

Passo 3

Identificamos para cilíndricas:
q_{1}=\rho,\quad q_{2}=\varphi,\quad q_{3}=z,
h_{1}=1,\quad h_{2}=\rho,\quad h_{3}=1,
e o vetor \mathbf{V} tem V_{3}=0. Além disso h_{2}V_{2}=\rho\,V_{\varphi} e h_{1}V_{1}=V_{\rho} são independentes de z. Assim
(\nabla\times\mathbf{V})_{1} =\frac{1}{h_{2}h_{3}}\Bigl[0-\frac{\partial}{\partial z}(\rho\,V_{\varphi})\Bigr] =0,
(\nabla\times\mathbf{V})_{2} =\frac{1}{h_{3}h_{1}}\Bigl[\frac{\partial}{\partial z}(V_{\rho})-0\Bigr] =0.

Passo 4

A única componente possível é a terceira:
(\nabla\times\mathbf{V})_{3} =\frac{1}{h_{1}h_{2}}\Bigl[\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho\,V_{\varphi}) -\frac{\partial}{\partial \varphi}(V_{\rho})\Bigr] =\frac{1}{\rho}\Bigl[\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho\,V_{\varphi}) -\frac{\partial V_{\rho}}{\partial \varphi}\Bigr].
Logo
\nabla\times\mathbf{V} =\hat{\mathbf z}\,\frac{1}{\rho}\Bigl[\partial_{\rho}(\rho\,V_{\varphi}) -\partial_{\varphi}V_{\rho}\Bigr].

Passo 5

O que fizemos vale em geral para qualquer sistema curvilíneo ortogonal em que o vetor é confinado à superfície q_{3}= constante e os produtos h_{1}V_{1} e h_{2}V_{2} não dependam de q_{3}: as duas primeiras componentes do rotacional se anulam e sobra apenas a terceira.

Resposta

\nabla\times\mathbf{V} =\hat{\mathbf z}\,\frac{1}{\rho}\Bigl[\frac{\partial}{\partial \rho}(\rho\,V_{\varphi}) -\frac{\partial V_{\rho}}{\partial \varphi}\Bigr],
isto é, o rotacional tem somente componente z.

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