Força de fluido Uma placa triangular A B C é submersa em água verticalmente. O lado A B, \operatorname{com} 4 pés de extensão, está 6 pés abaixo da superfície da água, enquanto o vértice C está 2 pés abaixo da superfície. Determine a força exercida pela água em um lado da placa.

Passo 1

O enunciado dá uma placa triangular ABC submersa verticalmente, com o lado AB horizontal de extensão 4 ft situado a 6 ft abaixo da superfície e o vértice C a 2 ft abaixo. Queremos a força hidrostática num lado da placa. Para isso usamos o conteúdo de força de fluido sobre superfície plana variável:
dF =\gamma\cdot h\cdot dA
onde \gamma é o peso específico da água e h é a profundidade.

Passo 2

Escolhemos um eixo vertical y com origem em C e positividade para baixo, de modo que:
– em y=0 está C (profundidade 2 ft)
– em y=4 está AB (profundidade 6 ft)
A profundidade de um ponto em y é
h(y)=2+y.
A largura da placa num nível y varia linearmente de 0 em C até 4 em AB. Pela semelhança de triângulos,
w(y)=\frac{4}{4}\,y=y.

Passo 3

A pressão em profundidade h(y) vale
p(y)=\gamma \cdot h(y),
com \gamma=62,4, \mathrm{lb/ft^3}.
Um elemento horizontal de espessura \mathrm{d}y tem área
\mathrm{d}A = w(y)\,\mathrm{d}y = y\,\mathrm{d}y.
Logo a força sobre esse elemento é
\mathrm{d}F = p(y)\,\mathrm{d}A = \gamma\,(2+y)\,y\,\mathrm{d}y.

Passo 4

Integramos y de 0 a 4:
F = \int_{0}^{4} \gamma\,(2+y)\,y\,\mathrm{d}y = \gamma \int_{0}^{4} (2y + y^2)\,\mathrm{d}y.
Calculemos o integral:
\int_{0}^{4} (2y + y^2)\,\mathrm{d}y = \bigl[y^2 + \tfrac{y^3}{3}\bigr]_{0}^{4} = 16 + \tfrac{64}{3} = \tfrac{48+64}{3} = \tfrac{112}{3}.
Portanto
F = 62{,}4 \times \frac{112}{3} = \frac{62{,}4 \times 112}{3} \approx 2329{,}6\\ \mathrm{lb}.

Resposta

A força exercida pela água em um lado da placa é aproximadamente 2329,6, \mathrm{lb}.

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