Forme uma palavra de sete letras misturando as letras na palavra COMBINE.
(a) De quantas maneiras você pode fazer isso?
(b) De quantas maneiras você pode fazer isso se as vogais têm que estar no começo?
(c) De quantas maneiras você pode fazer isso se nenhuma vogal está isolada entre duas consoantes?

Passo 1

O enunciado pede para formar “palavras” de sete letras usando todas as letras distintas de COMBINE:
C, O, M, B, I, N, E.
(a) conta o total de permutações simples,
(b) conta as permutações em que as três vogais (O, I, E) ocupam as três primeiras posições,
(c) conta as permutações em que nenhuma vogal fica isolada entre duas consoantes (isto é, não ocorre o padrão C–V–C).
Vamos usar permutações, princípio multiplicativo e, em (c), inclusão-exclusão.

Passo 2

Sem nenhuma restrição, são 7 letras distintas permutadas em todas as ordens. Pelo princípio das permutações simples:
7! = 5040

Passo 3

Se as três vogais têm que ocupar as três primeiras posições, primeiro escolhemos a ordem das vogais em 3! maneiras e depois a ordem das quatro consoantes nas quatro posições restantes em 4! maneiras. Pelo princípio multiplicativo:
(b) = 3! times 4! = 6 times 24 = 144

Passo 4

Para garantir que nenhuma vogal fique isolada entre duas consoantes, evitamos qualquer padrão C–V–C. Definimos para cada vogal v o evento Av = v está isolada”.
1. |Av|: escolha da posição central iin2,dots,6 em 5 modos, escolha de 2 consoantes distintas nas vizinhanças em P(4,2)=12 modos e permutação dos outros 4 símbolos em 4!=24 modos. Logo
|Av| = 5 times 12 times 24 = 1440
Como há 3 vogais, sum|Av|=3times1440=4320.
2. |Avcap Au| para duas vogais distintas: para isolar duas vogais elas usam todas as 4 consoantes como vizinhas, e os dois blocos de tamanho 3 precisam ser disjuntos. Há 6 escolhas ordenadas de centros (iv,iu), depois P(4,2)=12 modos de atribuir consoantes ao primeiro bloco e 2 modos ao segundo, e sobra exatamente 1 posição para a terceira vogal. Logo
|Avcap Au|=6times12times2=144
e somando sobre os binom32=3 pares dá 3times144=432.
3. Três vogais isoladas são impossíveis pois precisariam de 6 consoantes distintas.
Pela inclusão-exclusão, o número que não contém nenhum evento isolado é
5040 - 4320 + 432 = 1152

Resposta

(a) 5040
(b) 144
(c) 1152

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