Forme uma palavra de sete letras misturando as letras na palavra COMBINE.
(a) De quantas maneiras você pode fazer isso?
(b) De quantas maneiras você pode fazer isso se as vogais têm que estar no começo?
(c) De quantas maneiras você pode fazer isso se nenhuma vogal está isolada entre duas consoantes?
(a) De quantas maneiras você pode fazer isso?
(b) De quantas maneiras você pode fazer isso se as vogais têm que estar no começo?
(c) De quantas maneiras você pode fazer isso se nenhuma vogal está isolada entre duas consoantes?
Passo 1
O enunciado pede para formar “palavras” de sete letras usando todas as letras distintas de COMBINE:
C, O, M, B, I, N, E.
(a) conta o total de permutações simples,
(b) conta as permutações em que as três vogais (O, I, E) ocupam as três primeiras posições,
(c) conta as permutações em que nenhuma vogal fica isolada entre duas consoantes (isto é, não ocorre o padrão C–V–C).
Vamos usar permutações, princípio multiplicativo e, em (c), inclusão-exclusão.
C, O, M, B, I, N, E.
(a) conta o total de permutações simples,
(b) conta as permutações em que as três vogais (O, I, E) ocupam as três primeiras posições,
(c) conta as permutações em que nenhuma vogal fica isolada entre duas consoantes (isto é, não ocorre o padrão C–V–C).
Vamos usar permutações, princípio multiplicativo e, em (c), inclusão-exclusão.
Passo 2
Sem nenhuma restrição, são
letras distintas permutadas em todas as ordens. Pelo princípio das permutações simples:
Passo 3
Se as três vogais têm que ocupar as três primeiras posições, primeiro escolhemos a ordem das vogais em
maneiras e depois a ordem das quatro consoantes nas quatro posições restantes em
maneiras. Pelo princípio multiplicativo:
Passo 4
Para garantir que nenhuma vogal fique isolada entre duas consoantes, evitamos qualquer padrão C–V–C. Definimos para cada vogal
o evento
“
está isolada”.
.
: escolha da posição central
em
modos, escolha de
consoantes distintas nas vizinhanças em
modos e permutação dos outros
símbolos em
modos. Logo
Como há
vogais,
.
.
para duas vogais distintas: para isolar duas vogais elas usam todas as
consoantes como vizinhas, e os dois blocos de tamanho
precisam ser disjuntos. Há
escolhas ordenadas de centros
, depois
modos de atribuir consoantes ao primeiro bloco e
modos ao segundo, e sobra exatamente
posição para a terceira vogal. Logo
e somando sobre os
pares dá
.
. Três vogais isoladas são impossíveis pois precisariam de
consoantes distintas.
Pela inclusão-exclusão, o número que não contém nenhum evento isolado é
Pela inclusão-exclusão, o número que não contém nenhum evento isolado é
Resposta
(a)
(b)
(c)
(b)
(c)