A função custo mensal de fabricação de um produto é C=x^33-2 x^2+10 x+10, e o preço de venda é p=13. Qual a quantidade que deve ser produzida e vendida mensalmente para dar o máximo lucro?

Passo 1

O enunciado nos dá a função custo mensal
C(x)=x^33-2x^2+10x+10
e o preço de venda unitário ,p=13. Precisamos determinar a quantidade x que maximiza o lucro mensal. Para isso vamos:
  1. Definir a função lucro pi(x).
  2. Calcular pi'(x) e achar pontos críticos.
  3. Usar o teste da segunda derivada para confirmar que é máximo.

Passo 2

A função lucro é receita menos custo. A receita é p,x=13x, logo
pi(x)=13x - C(x) =13x -l(x^33-2x^2+10x+10r) =-x^33+2x^2+3x-10

Passo 3

Para achar extremos, calculamos a primeira derivada
pi'(x) =-!x^2+4x+3
e igualamos a zero:
-!x^2+4x+3=0 Longrightarrow x^2-4x-3=0

Passo 4

Resolvendo x^2-4x-3=0 pela fórmula de Bhaskara:
x=4pmraiz16+122 =4pmraiz282 =2pmraiz7
Como a produção não pode ser negativa, descartamos 2-raiz7<0 e ficamos com
x=2+raiz7approx4,65

Passo 5

Verificamos que é de máximo usando a segunda derivada:
pi''(x)=-2x+4,
em x=2+raiz7 temos
pi''(2+raiz7)=-2(2+raiz7)+4=-2raiz7<0,
logo pi tem máximo local naquele ponto.

Resposta

A quantidade que maximiza o lucro é
x=2+raiz7approx4,65
unidades por mês.

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