A função custo mensal de fabricação de um produto é
, e o preço de venda é
. Qual a quantidade que deve ser produzida e vendida mensalmente para dar o máximo lucro?
Passo 1
O enunciado nos dá a função custo mensal
e o preço de venda unitário
. Precisamos determinar a quantidade
que maximiza o lucro mensal. Para isso vamos:
- Definir a função lucro
. - Calcular
e achar pontos críticos. - Usar o teste da segunda derivada para confirmar que é máximo.
Passo 2
A função lucro é receita menos custo. A receita é
, logo
Passo 3
Para achar extremos, calculamos a primeira derivada
e igualamos a zero:
Passo 4
Resolvendo
pela fórmula de Bhaskara:
Como a produção não pode ser negativa, descartamos
e ficamos com
Passo 5
Verificamos que é de máximo usando a segunda derivada:
em
temos
logo
tem máximo local naquele ponto.
Resposta
A quantidade que maximiza o lucro é
unidades por mês.