Obtenha os intervalos de crescimento e decrescimento das funções e determine os eventuais pontos de máximo e de mínimo:
f(x)=x^33-72 x^2+12 x+3

Passo 1

O enunciado pede os intervalos de crescimento e decrescimento, além dos pontos de máximo e mínimo local da função
f(x)=x^33-72x^2+12x+3
Vamos usar o teste da primeira derivada: calcular f'(x), achar os valores críticos e estudar o sinal de f'(x).

Passo 2

Calculamos a derivada de f. Como
ddxl(tfracx^33r)=x^2, ddxl(-tfrac72x^2r)=-7x, ddx(12x)=12,
temos
f'(x)=x^2-7x+12

Passo 3

Para encontrar os críticos, resolvemos
x^2-7x+12=0
Fatorando, (x-3)(x-4)=0, logo os pontos críticos são x=3 e x=4.
Estudando o sinal de f'(x):
  • Se x<3, ambos x-3 e x-4 são negativos, então f'(x)>0.
  • Se 3<x<4, x-3>0 e x-4<0, então f'(x)<0.
  • Se x>4, ambos são positivos, logo f'(x)>0.

Passo 4

Pelo teste da primeira derivada:
  • Em x=3 a derivada vai de positiva para negativa, indicando um máximo local.
  • Em x=4 a derivada vai de negativa para positiva, indicando um mínimo local.
Calculamos os valores:
f(3)=273-632+36+3 =9-632+39 =96-632 =332,
f(4)=643-56+48+3 =643-5 =64-153 =493

Resposta

Intervalos de crescimento: (-infty,3) e (4,infty).
Intervalo de decrescimento: (3,4).
Máximo local em l(3,tfrac332r).
Mínimo local em l(4,tfrac493r).

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