O que é uma função definida em partes? Dê exemplos. Defina o valor absoluto da função e desenhe seu gráfico.

Passo 1

O enunciado pede para entendermos o que é uma função definida em partes (ou peça a peça), dar exemplos, depois definir o valor absoluto de uma função e mostrar o gráfico desse valor absoluto. Vamos usar conceitos básicos de definição por casos e depois aplicar isso ao módulo de uma função.

Passo 2

Uma função definida em partes é aquela cujo domínio é particionado em subconjuntos, e em cada subconjunto a função é dada por uma expressão diferente. Em outras palavras, se D é o domínio, existe uma coleção de conjuntos D_1,\dots,D_n tais que
D = \bigcup_{i=1}^n D_i,\quad D_i\cap D_j=\emptyset\\ (i\neq j),
e a função f\colon D\to\mathbb{R} satisfaz
f(x)= \begin{cases} \text{expressão 1},&x\in D_1,\\\ \text{expressão 2},&x\in D_2,\\\ \vdots&\vdots\\\ \text{expressão }n,&x\in D_n. \end{cases}ããã

Passo 3

Alguns exemplos clássicos de funções em partes:
1\). A função sinal (signum) \[\mathrm{sgn}(x)= \begin{cases} -1,&x<0,\\\\ 0,&x=0,\\\\ 1,&x>0. \end{cases}
2\]. Uma função polinomial diferente em cada lado de zero \[f(x)= \begin{cases} x^2,&x\ge0,\\\\ -2x+1,&x<0. \end{cases}\] \(3. A função passo de Heaviside
H(x)= \begin{cases} 0,&x<0,\\\\ 1,&x\ge0. \end{cases}

Passo 4

Dada qualquer função f\colon D\to\mathbb{R}\), definimos o valor absoluto (ou módulo) de \(f\) como a nova função \(\lvert f\rvert\colon D\to[0,\infty)\) dada por \[\lvert f\rvert(x)=\bigl\lvert f(x)\bigr\rvert = \begin{cases} f(x),&f(x)\ge0,\\\\ -\,f(x),&f(x)<0. \end{cases}
Isto é, em cada ponto x\] pegamos o valor de \(f(x) e, se for negativo, trocamos de sinal para torná-lo não negativo.

Passo 5

O exemplo mais comum é a função identidade f(x)=x\). Seu módulo é \[\lvert x\rvert= \begin{cases} x,&x\ge0,\\\\ -\,x,&x<0. \end{cases}
O gráfico de \lvert x\rvert\] é um “V” com vértice em \((0,0):
– Para x\ge0, traçamos a reta de inclinação +1 que passa por (0,0).
– Para x<0, traçamos a reta de inclinação -1 que passa por (0,0).
Em esboço:
    |  
  \(1+\)          /  
    |         /   
    |        /    
  \(0+\)-------\(+\)-------  
    |       /      
   -\(1\)     /        
    |

Resposta

Uma função definida em partes é aquela que, em diferentes regiões do domínio, é dada por fórmulas distintas. Exemplos:
\mathrm{sgn}(x),\quad f(x)= \begin{cases} x^2,&x\ge0,\\\\ -2x+1,&x<0, \end{cases}\quad H(x)= \begin{cases} 0,&x<0,\\\\ 1,&x\ge0. \end{cases}
O valor absoluto de f\) é \(\lvert f\rvert(x)=\lvert f(x)\rvert\), ou seja \[\lvert f\rvert(x)= \begin{cases} f(x),&f(x)\ge0,\\\\ -\,f(x),&f(x)<0. \end{cases}
No caso f(x)=x\], temos \[\lvert x\rvert= \begin{cases} x,&x\ge0,\\\\ -\,x,&x<0, \end{cases}\] e o gráfico forma um “V” com vértice em \((0,0).

Exercícios de Livros Relacionados