A função de demanda de um produto é p=100-2 x, e o único produtor tem uma função custo C=500+3 x.
a) Que preço deve ser cobrado para maximizar o lucro, se o governo cobrar do produtor um imposto de $ 1,00 por unidade vendida?
b) Se a empresa maximizar o lucro, que imposto o governo deve cobrar para maximizar a receita tributária?

Passo 1

O enunciado dá a função de demanda p(x)=100-2x e a função de custo do produtor C(x)=500+3x.
a) Queremos encontrar o preço que maximiza o lucro quando há um imposto de 1 real por unidade vendida.
b) Depois, supondo que a empresa sempre escolha a quantidade que maximiza seu lucro, queremos achar o imposto t que maximiza a receita tributária T(t).
Para resolver isso usaremos o conceito de lucro pi(x), receita marginal R'(x) e custo marginal ajustado pelo imposto, além de derivar para achar máximos.

Passo 2

a) Com imposto t=1, a função lucro é
pi(x)=underbracep(x),xreceita-underbraceC(x)custo-t,x =(100-2x)x-(500+3x)-1cdot x
A receita marginal é
R'(x)=ddxl((100-2x)xr)=100-4x,
e o custo marginal mais imposto é
(C+tx)'=3+1=4
Em equilíbrio de lucro, fixa-se
R'(x)=CMg com imposto Longrightarrow 100-4x=4

Passo 3

Resolvendo para x:
100-4x=4 Longrightarrow 4x=96 Longrightarrow x=24
O preço ótimo é
p=100-2cdot24=100-48=52

Passo 4

b) Agora deixe o imposto genérico, t. A condição de ótimo da empresa vira
100-4x=3+t Longrightarrow x(t)=100-(3+t)4=97-t4
A receita tributária é
T(t)=t;x(t)=t,(97-t)4
Para maximizar, derivamos em relação a t:
T'(t)=97-2t4=0 Longrightarrow 97-2t=0 Longrightarrow t=972=48,5

Resposta

a) p=$52
b) t=$48,50

Exercícios de Livros Relacionados