A função de demanda de um produto é p=30-x e o custo variável por unidade é igual a 5.
a) Que preço deve ser cobrado para maximizar o lucro, se o governo cobrar, junto ao produtor, um imposto de $ 3,00 por unidade vendida?
b) Se o governo cobrar um imposto fixo por unidade vendida, e a empresa produtora. maximizar seu lucro, qual o valor do imposto que maximiza a receita tributária?

Passo 1

O enunciado dá a função de demanda p=30-x, o custo variável por unidade c=5 e um imposto por unidade t. Vamos modelar o lucro da empresa como
pi(x) = l(p - t - cr),x
com p=30-x, e depois:
  1. para t=3, achar a quantidade x que maximiza pi e o preço p;
  2. em seguida tomar t como variável e achar o t que maximiza a receita tributária R(t)=t,x^*(t), onde x^*(t) é a quantidade ótima da empresa.

Passo 2

Para t=3, substituímos p=30-x em pi:
pi(x) = l((30-x)-3-5r)x = (22 - x),x = 22x - x^2
Derivando em relação a x e igualando a zero:
dpidx = 22 - 2x = 0 Longrightarrow x = 11

Passo 3

A quantidade ótima é x=11. O preço correspondente da curva de demanda é
p = 30 - x = 30 - 11 = 19

Passo 4

Agora tomamos t genérico. O lucro é
pi(x) = l((30-x) - t - 5r)x = (25 - t - x),x
Maximizando em x:
dpidx = 25 - t - 2x = 0 Longrightarrow x^*(t) = 25 - t2

Passo 5

A receita tributária é
R(t) = t , x^*(t) = t ,25 - t2 = 25t - t^22
Para maximizar R(t), derivamos em t:
dRdt = 25 - 2t2 = 0 Longrightarrow t = 252 = 12,50
Verifica-se que a segunda derivada é negativa, confirmando máximo.

Resposta

(a) p = 19.
(b) t = 12,50.

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