O que é uma função inteira? Dê exemplos.

Passo 1

O enunciado pergunta o que é uma função inteira no contexto de análise complexa. O conteúdo envolve as noções de derivabilidade complexa (holomorfia) e de funções analíticas definidas em todo o plano complexo.

Passo 2

Uma função f\colon \mathbb{C}\to\mathbb{C} é dita inteira se for holomorfa (ou seja, complexamente diferenciável) em cada ponto de \mathbb{C}. Em outras palavras, não há singularidades nem “buracos” no domínio: ela aceita derivada complexa em todo lugar.
Uma consequência importante é que toda função inteira é analítica no plano todo, isto é, em torno de qualquer ponto z_0\in\mathbb{C} ela admite expansão em série de potências com raio de convergência infinito:
f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n\,(z-z_0)^n,
onde a série converge para todo z\in\mathbb{C}.

Passo 3

Exemplo 1: Qualquer polinômio
p(z)=a_0 + a_1 z + \cdots + a_m z^m
é inteiro, pois polinômios são diferenciáveis em todo \mathbb{C} e sua série de Taylor é exatamente o próprio polinômio (raio de convergência infinito).
Exemplo 2: A função exponencial
e^z = \sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}
tem série de potências com coeficientes \frac1{n!} e converge para todo z, portanto e^z é inteira. De modo análogo, as funções trigonométricas
\sin(z)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{z^{2n+1}}{(2n+1)!},\quad \cos(z)=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n\frac{z^{2n}}{(2n)!}
também são inteiras.

Passo 4

Exemplo 3: Há funções inteiras mais sofisticadas, como as definidas por produtos infinitos (funções de Weierstrass), mas sem polos no plano todo. Um caso clássico além de \sin(z) é
\frac{\sin(\pi z)}{\pi z}
que, embora tenha zero em z=0, não tem polos, logo é inteira.

Resposta

Uma função inteira é uma função f\colon \mathbb{C}\to\mathbb{C} holomorfa em todo o plano complexo, equivalendo a dizer que ela se expande em série de potências com raio de convergência infinito. Exemplos clássicos são:
– Todo polinômio p(z)=a_0+a_1z+\cdots+a_mz^m.
– A função exponencial e^z.
– As funções trigonométricas \sin(z) e \cos(z).
– Produtos infinitos de Weierstrass sem polos, como \frac{\sin(\pi z)}{\pi z}.

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