O que é uma função inteira? Dê exemplos.
Passo 1
O enunciado pergunta o que é uma função inteira no contexto de análise complexa. O conteúdo envolve as noções de derivabilidade complexa (holomorfia) e de funções analíticas definidas em todo o plano complexo.
Passo 2
Uma função
é dita inteira se for holomorfa (ou seja, complexamente diferenciável) em cada ponto de
. Em outras palavras, não há singularidades nem “buracos” no domínio: ela aceita derivada complexa em todo lugar.
Uma consequência importante é que toda função inteira é analítica no plano todo, isto é, em torno de qualquer ponto ela admite expansão em série de potências com raio de convergência infinito:
Uma consequência importante é que toda função inteira é analítica no plano todo, isto é, em torno de qualquer ponto
onde a série converge para todo
.
Passo 3
Exemplo 1: Qualquer polinômio
é inteiro, pois polinômios são diferenciáveis em todo
e sua série de Taylor é exatamente o próprio polinômio (raio de convergência infinito).
Exemplo 2: A função exponencial
Exemplo 2: A função exponencial
tem série de potências com coeficientes
e converge para todo
, portanto
é inteira. De modo análogo, as funções trigonométricas
também são inteiras.
Passo 4
Exemplo 3: Há funções inteiras mais sofisticadas, como as definidas por produtos infinitos (funções de Weierstrass), mas sem polos no plano todo. Um caso clássico além de
é
que, embora tenha zero em
, não tem polos, logo é inteira.
Resposta
Uma função inteira é uma função
holomorfa em todo o plano complexo, equivalendo a dizer que ela se expande em série de potências com raio de convergência infinito. Exemplos clássicos são:
– Todo polinômio .
– A função exponencial .
– As funções trigonométricas e
.
– Produtos infinitos de Weierstrass sem polos, como .
– Todo polinômio
– A função exponencial
– As funções trigonométricas
– Produtos infinitos de Weierstrass sem polos, como