Pode uma função ser derivável em um ponto sem ser analítica nele? Em caso afirmativo, dê um exemplo.

Passo 1

O enunciado pergunta se é possível uma função ser derivável em um ponto sem ser analítica nele. Derivável em x_{0} significa que existe o limite
f'(x_{0}) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}\,,
enquanto analítica em x_{0} exige não só existência de derivadas de todas as ordens em x_{0}, mas também que a série de Taylor em torno de x_{0}
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}
converja para f(x) num bairro de x_{0}. Vamos usar o exemplo canônico da função “flat” em zero para ilustrar.

Passo 2

Defina
f(x)= \begin{cases} e^{-1/x^{2}},& x\neq 0,\\\\ 0,& x=0. \end{cases}
Essa função é famosa por ser C^{\infty} em toda a reta e, em particular, derivável em 0, mas não é analítica em 0.

Passo 3

Mostremos que f é derivável em 0. Como f(0)=0, temos
f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h)-f(0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{e^{-1/h^{2}}}{h}.
Como e^{-1/h^{2}} tende a zero mais rápido que qualquer potência de h, o quociente vai a zero. Logo
f'(0)=0.

Passo 4

Para ser analítica em 0, a série de Taylor de f em torno de 0 teria de convergir para f(x) num intervalo. Mas calcula-se que, para todo n\ge0,
f^{(n)}(0)=0,
de modo que a série de Taylor em zero é
\sum_{n=0}^{\infty}0\cdot\frac{x^{n}}{n!}=0
em todo entorno de 0. Essa série não pode se igualar a f(x)=e^{-1/x^{2}}>0 para x\neq0. Portanto f não é analítica em 0.

Resposta

Sim. Um exemplo clássico é
f(x)= \begin{cases} e^{-1/x^{2}},& x\neq 0,\\\\ 0,& x=0, \end{cases}
que é derivável (e até C^{\infty}) em 0 mas não analítica aí.

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