Pode uma função ser derivável em um ponto sem ser analítica nele? Em caso afirmativo, dê um exemplo.
Passo 1
O enunciado pergunta se é possível uma função ser derivável em um ponto sem ser analítica nele. Derivável em
significa que existe o limite
enquanto analítica em
exige não só existência de derivadas de todas as ordens em
, mas também que a série de Taylor em torno de
converja para
num bairro de
. Vamos usar o exemplo canônico da função “flat” em zero para ilustrar.
Passo 2
Defina
Essa função é famosa por ser
em toda a reta e, em particular, derivável em
, mas não é analítica em
.
Passo 3
Mostremos que
é derivável em
. Como
, temos
Como
tende a zero mais rápido que qualquer potência de
, o quociente vai a zero. Logo
Passo 4
Para ser analítica em
, a série de Taylor de
em torno de
teria de convergir para
num intervalo. Mas calcula-se que, para todo
,
de modo que a série de Taylor em zero é
em todo entorno de
. Essa série não pode se igualar a
para
. Portanto
não é analítica em
.
Resposta
Sim. Um exemplo clássico é
que é derivável (e até
) em
mas não analítica aí.