Por que, para a função y=2 x+3 pode-se determinar o acréscimo \Delta y, sabendo-se, apenas, que o acréscimo correspondente é \Delta x=5, enquanto que para a função y=x^{2} não se pode fazê-lo?

Passo 1

O enunciado pergunta por que, sabendo apenas que \Delta x=5, conseguimos achar o acréscimo \Delta y para a função linear
y=2x+3
mas não conseguimos fazer isso para a função quadrática
y=x^2.
O conteúdo aqui é o cálculo de incrementos em funções e a ideia de taxa de variação.

Passo 2

Para a função linear definimos
\Delta y = f(x+\Delta x)-f(x).
Logo, substituindo f(x)=2x+3 e \Delta x=5:
\Delta y = \bigl[2(x+5)+3\bigr] - \bigl[2x+3\bigr] = 2x+10+3 -2x -3 =10.
Repare que o valor de x cancelou, então \Delta y depende apenas de \Delta x.

Passo 3

Para a função quadrática fazemos o mesmo:
\Delta y = (x+5)^2 - x^2 = x^2 +10x +25 - x^2 =10x +25.
Aqui \Delta y ficou igual a 10x+25, que depende do valor inicial x além de \Delta x.

Passo 4

Em termos de taxa de variação, na função linear
\frac{\Delta y}{\Delta x}=2
é constante em todo ponto, por isso \Delta y só “vê” \Delta x. Já na quadrática a taxa
\frac{\Delta y}{\Delta x}=2x+\Delta x
muda conforme x, de modo que o acréscimo \Delta y não pode ser determinado sem saber o ponto de partida.

Resposta

Porque na reta y=2x+3 a taxa de variação é constante (declive fixo), logo \Delta y depende só de \Delta x. Na parábola y=x^2 a taxa varia com x, então o acréscimo \Delta y também depende do valor inicial de x, não apenas de \Delta x.

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