em [-1,1] e pergunta se existe f em [-1,1] tal que f'(x)=U(x). O conteúdo usado será o Teorema de Darboux para derivadas (propriedade do valor intermediário).
Passo 2
Teorema de Darboux: se f é diferenciável num intervalo, então f' satisfaz a propriedade do valor intermediário. Em particular, f' não pode ter descontinuidade do tipo salto (não pode “pular” de um valor a outro sem assumir todos os valores intermediários).
mas U nunca vale nenhum c com 0<c<1. Logo U não satisfaz a propriedade de Darboux, pois falha em assumir valores entre 0 e 1.
Passo 4
Como toda derivada deve satisfazer a propriedade do valor intermediário, e U não a satisfaz, não existe função f em [-1,1] tal que f'(x)=U(x).
Resposta
Não. A derivada de qualquer função satisfaz o Teorema de Darboux (valor intermediário), mas U tem salto de 0 a 1 em x=0 sem assumir valores entre esses limites, logo não pode ser derivada de nenhuma função.
Cálculo - Angela dos Santos e Waldecir Bianchini - Aprendendo Cálculo com Maple-Cálculo de Uma Variável - 1ª Edição - Capítulo 2.Questões de Revisão - Ex. 8