A função salto unitário
U(x)= \begin{cases}0, & x<0 \\\\ 1, & x \geq 0\end{cases}
poderia ser a derivada de uma outra função em [-1,1] ? Explique.

Passo 1

O enunciado define a função salto unitário \r
U(x)= \begin{cases} 0,&x<0,\\\\ 1,&x\ge0, \end{cases}\r
em [-1,1] e pergunta se existe f em [-1,1] tal que f'(x)=U(x). O conteúdo usado será o Teorema de Darboux para derivadas (propriedade do valor intermediário).

Passo 2

Teorema de Darboux: se f é diferenciável num intervalo, então f' satisfaz a propriedade do valor intermediário. Em particular, f' não pode ter descontinuidade do tipo salto (não pode “pular” de um valor a outro sem assumir todos os valores intermediários).

Passo 3

A função U sofre um salto em x=0: \r
\lim_{x\to0^-}U(x)=0 \quad\text{e}\quad \lim_{x\to0^+}U(x)=1,\r
mas U nunca vale nenhum c com 0<c<1. Logo U não satisfaz a propriedade de Darboux, pois falha em assumir valores entre 0 e 1.

Passo 4

Como toda derivada deve satisfazer a propriedade do valor intermediário, e U não a satisfaz, não existe função f em [-1,1] tal que f'(x)=U(x).

Resposta

Não. A derivada de qualquer função satisfaz o Teorema de Darboux (valor intermediário), mas U tem salto de 0 a 1 em x=0 sem assumir valores entre esses limites, logo não pode ser derivada de nenhuma função.

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