(Fuvest-77) Calcule quantos múltiplos de três, de quatro algarismos distintos, podem ser formados com
e 9 .
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos formar números de quatro dígitos distintos usando os algarismos do conjunto
de modo que cada número seja múltiplo de 3. Para isso, vamos usar a regra de divisibilidade por 3, que diz que um número é múltiplo de 3 se, e somente se, a soma de seus dígitos também for múltipla de 3.
Passo 2
Classificamos cada dígito conforme seu resto na divisão por 3:
Assim, para qualquer escolha de quatro desses dígitos, se a soma for
o número formado será múltiplo de 3.
Passo 3
Calculemos a soma de todos os cinco dígitos:
que é múltiplo de 3. Se retirarmos um dígito, a soma dos quatro restantes será
Para que essa soma continue
, o dígito removido deve ter resto
mod 3, ou seja, deve ser um entre
,
ou
. Logo, há exatamente três subconjuntos de quatro dígitos cuja soma é múltipla de 3:
,
e
.
Passo 4
Cada um desses três conjuntos de quatro dígitos pode ser permutado de
maneiras distintas para formar números de quatro dígitos sem repetição e sem zero à esquerda (não há zero no conjunto). Como
, o total de números múltiplos de 3 formados é