(Fuvest-77) Calcule quantos múltiplos de três, de quatro algarismos distintos, podem ser formados com 2,3,4,6 e 9 .

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos formar números de quatro dígitos distintos usando os algarismos do conjunto 2,3,4,6,9 de modo que cada número seja múltiplo de 3. Para isso, vamos usar a regra de divisibilidade por 3, que diz que um número é múltiplo de 3 se, e somente se, a soma de seus dígitos também for múltipla de 3.

Passo 2

Classificamos cada dígito conforme seu resto na divisão por 3:
  • 2equiv2pmod3
  • 3equiv0pmod3
  • 4equiv1pmod3
  • 6equiv0pmod3
  • 9equiv0pmod3
Assim, para qualquer escolha de quatro desses dígitos, se a soma for equiv0pmod3 o número formado será múltiplo de 3.

Passo 3

Calculemos a soma de todos os cinco dígitos:
2+3+4+6+9 = 24,
que é múltiplo de 3. Se retirarmos um dígito, a soma dos quatro restantes será
24 - (dígito removido) í
Para que essa soma continue equiv0pmod3, o dígito removido deve ter resto 0 mod 3, ou seja, deve ser um entre 3, 6 ou 9. Logo, há exatamente três subconjuntos de quatro dígitos cuja soma é múltipla de 3:
2,4,6,9, 2,3,4,9 e 2,3,4,6.

Passo 4

Cada um desses três conjuntos de quatro dígitos pode ser permutado de 4! maneiras distintas para formar números de quatro dígitos sem repetição e sem zero à esquerda (não há zero no conjunto). Como 4!=24, o total de números múltiplos de 3 formados é
3 times 24 = 72

Resposta

72 números.

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