O produto de um número de três algarismos por 7 termina à direita em 638. Ache esse número.
Passo 1
O enunciado diz que um número inteiro de três algarismos
satisfaz
termina com os dígitos 638, ou seja, ao multiplicar por 7 obtemos um resultado cuja parte final de três algarismos é 638.
O conteúdo necessário aqui é aritmética modular: vamos resolver a congruência
O conteúdo necessário aqui é aritmética modular: vamos resolver a congruência
Passo 2
Traduzimos diretamente o enunciado para a congruência
Isso significa que existe um inteiro
tal que
Passo 3
Como
, a congruência tem solução única módulo 1000. Precisamos do inverso de 7 módulo 1000, digamos
tal que
Observamos que
logo
.
Passo 4
Multiplicamos ambos os lados da congruência por
:
Calculando
então
Portanto
Como
é um número de três algarismos, concluímos
.
Resposta
234