O produto de um número de três algarismos por 7 termina à direita em 638. Ache esse número.

Passo 1

O enunciado diz que um número inteiro de três algarismos N satisfaz
7N
termina com os dígitos 638, ou seja, ao multiplicar por 7 obtemos um resultado cuja parte final de três algarismos é 638.
O conteúdo necessário aqui é aritmética modular: vamos resolver a congruência
7N equiv 638 pmod1000

Passo 2

Traduzimos diretamente o enunciado para a congruência
7N equiv 638 pmod1000
Isso significa que existe um inteiro k tal que
7N = 638 + 1000k

Passo 3

Como gcd(7,1000)=1, a congruência tem solução única módulo 1000. Precisamos do inverso de 7 módulo 1000, digamos 7^-1 tal que
7cdot7^-1 equiv 1 pmod1000
Observamos que
7 times 143 = 1001 equiv 1 pmod1000,
logo 7^-1equiv 143pmod1000.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da congruência por 143:
N equiv 143 cdot 638 pmod1000
Calculando
143 times 638 = 91234,
então
91234 bmod 1000 = 234
Portanto
N equiv 234 pmod1000
Como N é um número de três algarismos, concluímos N=234.

Resposta

234

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