Prove por indução que:
7 mid(3^2 n+1+2^n+2), forall n >= 0

Passo 1

O enunciado pede para provar por indução que, para todo n>=0,
7 mid l(3^2n+1 + 2^n+2r)
O conteúdo utilizado é o princípio da indução matemática.

Passo 2

Base n=0. Calculamos
3^2cdot0+1+2^0+2=3^1+2^2=3+4=7,
e de fato 7mid7. Assim, a propriedade vale para n=0.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que, para algum k>=0,
7 mid l(3^2k+1+2^k+2r)

Passo 4

Queremos mostrar que
7 mid l(3^2(k+1)+1+2^(k+1)+2r)
Observe que
3^2(k+1)+1+2^k+3 =3^2k+3+2cdot2^k+2 =9cdot3^2k+1+2cdot2^k+2
Escrevendo 9=7+2, segue
3^2k+3+2^k+3 =7cdot3^2k+1 ;+;2l(3^2k+1+2^k+2r)

Passo 5

Pela hipótese de indução, 3^2k+1+2^k+2 é múltiplo de 7, logo 2l(3^2k+1+2^k+2r) também é múltiplo de 7. Além disso, 7cdot3^2k+1 é múltiplo de 7. Portanto, a soma é múltiplo de 7, o que prova o passo de indução.

Passo 6

Concluímos, por indução, que para todo n>=0 vale
7 mid l(3^2n+1+2^n+2r)

Resposta

A propriedade está demonstrada: para todo n>=0, 7 divide 3^2n+1+2^n+2.

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