(PUC-RJ) Seja um hexágono regular ABCDEF. A razão entre os comprimentos dos segmentos e AB é igual a:
a) raiz2
b) 32
c) 1+raiz52
d) raiz3
e) 2
Passo 1
O problema dá um hexágono regular ABCDEF e pede a razão entre os comprimentos de AC e AB. Como todo hexágono regular pode ser inscrito numa circunferência de raio R e tem todos os lados iguais (digamos comprimento s), vamos usar geometria de círculo e fórmula de corda para achar essas distâncias.
Passo 2
Denotemos por O o centro da circunferência circunscrita. Então
OA=OB=OC=R
e, por definição de lado do hexágono regular,
AB=s=2Rsinl(tfracpi6r)=R
Logo, s=R e portanto
AB=R
Passo 3
O segmento AC é uma corda que subtende, no centro O, um ângulo ang<= AOC de 120^circ (pois C está duas vértices adiante de A). A fórmula da corda dá
AC = 2Rsinl(tfracang<= AOC2r) = 2Rsinl(60^circr) = 2Rcdotraiz32 = Rraiz3
Passo 4
Como AB=R e AC=Rraiz3, a razão pedida é
ACAB = Rraiz3R = raiz3
Resposta
(d) raiz3
Cálculo - Osvaldo Dolce, José Nicolau Pompeo - Fundamentos de Matemática Elementar - Vol 9: Geometria Plana - 9ª Edição - Capítulo Questões de vestibulares.Questões de vestibulares - Ex. 164