(PUC-RJ) Seja um hexágono regular ABCDEF. A razão entre os comprimentos dos segmentos AC e AB é igual a:
a) raiz2
b) 32
c) 1+raiz52
d) raiz3
e) 2

Passo 1

O problema dá um hexágono regular ABCDEF e pede a razão entre os comprimentos de AC e AB. Como todo hexágono regular pode ser inscrito numa circunferência de raio R e tem todos os lados iguais (digamos comprimento s), vamos usar geometria de círculo e fórmula de corda para achar essas distâncias.

Passo 2

Denotemos por O o centro da circunferência circunscrita. Então
OA=OB=OC=R
e, por definição de lado do hexágono regular,
AB=s=2Rsinl(tfracpi6r)=R
Logo, s=R e portanto
AB=R

Passo 3

O segmento AC é uma corda que subtende, no centro O, um ângulo ang<= AOC de 120^circ (pois C está duas vértices adiante de A). A fórmula da corda dá
AC = 2Rsinl(tfracang<= AOC2r) = 2Rsinl(60^circr) = 2Rcdotraiz32 = Rraiz3

Passo 4

Como AB=R e AC=Rraiz3, a razão pedida é
ACAB = Rraiz3R = raiz3

Resposta

(d) raiz3

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