(Fuvest-97) Considere um triângulo ABC tal que a altura \overline{\mathrm{BH}} seja interna ao triângulo e os ângulos \mathrm{BA} \hat{\mathrm{A}} \mathrm{H} e HB C sejam congruentes.
a) Determine a medida do ângulo A \hat{B} C.
b) Calcule a medida de \overline{\mathrm{AC}}, sabendo que \mathrm{AB}=4 cm e a razão entre as áreas dos triângulos ABH e BCH é igual a 2.

Passo 1

Temos o triângulo ABC com altura BH interna, isto é, BH\perp AC em H. Além disso, é dado que
\angle BAH \cong \angle HBC.
Queremos (a) determinar \angle ABC e (b) calcular AC sabendo que AB=4 cm e
\frac{\text{área}(ABH)}{\text{área}(BCH)} = 2.áá
Para isso vamos usar trigonometria nos triângulos retângulos ABH e BCH.

Passo 2

Denotemos
AH = x,\quad CH = y,\quad BH = h.
No triângulo retângulo ABH,
\angle BAH satisfaz
\tan\bigl(\angle BAH\bigr)=\frac{BH}{AH}=\frac{h}{x}.
No retângulo BCH,
\angle HBC satisfaz
\tan\bigl(\angle HBC\bigr)=\frac{CH}{BH}=\frac{y}{h}.
Como \angle BAH=\angle HBC, temos
\frac{h}{x}=\frac{y}{h} \quad\Longrightarrow\quad h^2=xy.

Passo 3

No vértice B do triângulo ABC o ângulo \angle ABC se decompõe em
\angle ABC = \underbrace{\angle ABH}_{=90^\circ-\angle BAH} \;+\;\underbrace{\angle HBC}_{=\angle BAH}.
Logo, se chamarmos \theta=\angle BAH,
\angle ABC = (90^\circ-\theta)+\theta = 90^\circ.

Passo 4

Para a parte (b), as áreas são
\text{área}(ABH)=\tfrac12\,(AH)(BH)=\tfrac12\,x\,h, \quad \text{área}(BCH)=\tfrac12\,(CH)(BH)=\tfrac12\,y\,h.áá
A razão dada é
\frac{\text{área}(ABH)}{\text{área}(BCH)}=\frac{x\,h}{y\,h}=\frac{x}{y}=2 \quad\Longrightarrow\quad x=2y.áá
Como h^2=xy, segue
h^2=2y^2 \quad\Longrightarrow\quad h=\sqrt{2}\,y.
E do triângulo retângulo ABH temos
AB^2 = x^2 + h^2 = (2y)^2 + ( \sqrt2\,y )^2 =4y^2+2y^2=6y^2.
Como AB=4,
4^2=16=6y^2 \quad\Longrightarrow\quad y^2=\frac{16}{6}=\frac{8}{3} \quad\Longrightarrow\quad y=\frac{4}{\sqrt6}=\frac{2\sqrt6}{3}.
Então
x=2y=\frac{4\sqrt6}{3},
e por fim
AC = AH + CH = x + y = \frac{4\sqrt6}{3} + \frac{2\sqrt6}{3} = 2\sqrt6.

Resposta

(a) \displaystyle 90^\circ.
(b) \displaystyle AC=2\sqrt6\text{ cm}.

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