(Fuvest-98) A diferença entre os quadrados de dois números naturais é 21 . Um dos possíveis valores da soma dos quadrados desses dois números é:
a) 29
b) 97
c) 132
d) 184
e) 252

Passo 1

O enunciado diz que a diferença entre os quadrados de dois números naturais vale 21 e pede um possível valor da soma desses quadrados. O conteúdo principal é a fatoração da diferença de quadrados, que afirma que
x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)

Passo 2

Sejam m e n os dois números naturais com m>n. Então
m^2 - n^2 = (m-n)(m+n) = 21
Como m-n e m+n são inteiros positivos, buscamos pares de divisores de 21 que satisfaçam essa equação.

Passo 3

Os pares (m-n,m+n) que multiplicam 21 são (1,21), (3,7), (7,3) e (21,1). Mas como m+n>= m-n e n>=0, só precisamos de (1,21) e (3,7).
Para (m-n,m+n)=(1,21):
m=1+212=11, n=21-12=10,
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m^2+n^2=11^2+10^2=121+100=221,
que não consta nas alternativas.

Passo 4

Para (m-n,m+n)=(3,7):
m=3+72=5, n=7-32=2,
e então
m^2+n^2=5^2+2^2=25+4=29
Esse valor aparece entre as opções.

Resposta

29

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