(UFU-98) Se p é um número natural primo e a soma de todos os divisores positivos de p^2 é igual a 31, então p é igual a:
a) 5
b) 7
c) 3
d) 2
e) 11

Passo 1

O enunciado diz que p é primo e que a soma de todos os divisores positivos de p^2 vale 31. O conteúdo aqui é a função soma dos divisores, normalmente denotada por sigma(n).

Passo 2

Para um primo p, os divisores de p^2 são exatamente 1, p e p^2. Logo,
sigma(p^2)=1 + p + p^2

Passo 3

Segundo o enunciado, essa soma é 31. Então montamos a equação
1 + p + p^2 = 31

Passo 4

Reescrevendo temos
p^2 + p - 30 = 0
Essa é uma equação quadrática cuja solução positiva é
p = -1 + raiz1 + 1202 = -1 + 112 = 5
A outra raiz é negativa e não interessa, pois p é natural.

Resposta

a) 5

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