Prove que o quadrado de todo número primo maior que 3 deixa resto 1 quando dividido por 12 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o quadrado de todo número primo maior que 3 deixa resto 1 na divisão por 12. Isso envolve aritmética modular e propriedades dos números primos.

Passo 2

Considere um primo ,p>3. Todo inteiro pode ser escrito como 6k + r, com rin0,1,2,3,4,5. Como p não é divisível nem por 2 nem por 3, r não pode ser 0,2,3,4. Logo r só pode ser 1 ou 5, e podemos escrever
p = 6k + 1
ou
p = 6k - 1

Passo 3

Calculemos o quadrado de p. Se p = 6k pm 1, então
p^2 = (6k pm 1)^2 = 36k^2 pm 12k + 1

Passo 4

Observe que 36k^2 pm 12k = 12,(3k^2 pm k) é múltiplo de 12. Portanto,
p^2 = 12,(3k^2 pm k) + 1,
o que mostra que p^2 deixa resto 1 na divisão por 12.

Resposta

Fica demonstrado que, para todo primo p>3,
p^2 equiv 1 pmod12,
ou seja, o resto da divisão de p^2 por 12 é 1.

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