Prove que o quadrado de todo número primo maior que 3 deixa resto 1 quando dividido por 12 .
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o quadrado de todo número primo maior que 3 deixa resto 1 na divisão por 12. Isso envolve aritmética modular e propriedades dos números primos.
Passo 2
Considere um primo
. Todo inteiro pode ser escrito como
, com
. Como
não é divisível nem por 2 nem por 3,
não pode ser
. Logo
só pode ser
ou
, e podemos escrever
ou
Passo 3
Calculemos o quadrado de
. Se
, então
Passo 4
Observe que
é múltiplo de 12. Portanto,
o que mostra que
deixa resto 1 na divisão por 12.
Resposta
Fica demonstrado que, para todo primo
,
ou seja, o resto da divisão de
por 12 é 1.