(Fuvest-SP) Os números a1, a2, a3 formam uma progressão aritmética de razão r, de tal modo que a1+3, a2-3, a3-3 estejam em progressão geométrica. Dado ainda que a1>0 e a2=2, conclui-se que r é igual a:
a) 3+raiz3
b) 3+raiz32
c) 3+raiz34
d) 3-raiz32
e) 3-raiz3

Passo 1

O enunciado diz que os termos ,a1,a2,a3, formam uma progressão aritmética de razão r e que os números ,a1+3,;a2-3,;a3-3 estão em progressão geométrica. Além disso, a2=2 e a1>0. Vamos usar as definições de progressão aritmética e geométrica para encontrar r.

Passo 2

Por definição de progressão aritmética,
a2=a1+r, a3=a1+2r
Como a2=2, segue que
r=2 - a1 e a3=a1+2(2 - a1)=4 - a1

Passo 3

A condição de progressão geométrica para l(a1+3,;a2-3,;a3-3r) é
(a2-3)^2=(a1+3)(a3-3)
Substituindo a2=2 e a3=4 - a1, obtemos
(-1)^2=(a1+3)l((4 - a1)-3r) Longrightarrow 1=(a1+3)(1 - a1)

Passo 4

Expandindo e rearranjando a equação:
1= -a1^2-2a1+3 Longrightarrow a1^2+2a1-2=0
As raízes dessa equação são
a1=-2pmraiz4+82=-1pmraiz3
Como a1>0, escolhemos
a1=-1+raiz3

Passo 5

Finalmente, de r=2-a1 segue
r=2-(-1+raiz3)=3-raiz3

Resposta

3 - raiz3

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