(ITA-SP) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem n tais que AB = A e BA = B. Então [(A+B)^t]^2 é igual a:
a) (A+B)^2
b) 2(A^t cdot B^t)
c) 2(A^t+B^t)
d) A^t+B^t
e) A^t B^t

Passo 1

O enunciado dá duas matrizes quadradas A,B de ordem n tais que
AB = A e BA = B
Pergunta-se por l[(A+B)^tr]^2. Vamos usar propriedades de transposta e explorar as igualdades dadas para simplificar a expansão de l(A^t+B^tr)^2.

Passo 2

Primeiro, escrevemos
(A+B)^t ;=; A^t + B^t
Logo
l[(A+B)^tr]^2 =;(A^t+B^t),(A^t+B^t) = A^tA^t ;+; A^tB^t ;+; B^tA^t ;+; B^tB^t

Passo 3

Usamos agora que (AB)^t=B^tA^t e (BA)^t=A^tB^t. Como AB=A e BA=B, tem-se:
B^tA^t = (AB)^t = A^t, A^tB^t = (BA)^t = B^t
Substituindo,
l[(A+B)^tr]^2 = A^tA^t + B^tB^t + B^t + A^t

Passo 4

Agora notamos que, a partir de AB=A, multiplica-se à direita por A para obter
ABA = A^2,
mas como BA=B isso dá A,B,A = A,B = A, logo A^2=A. De modo análogo BA=B implica B^2=B.
Assim
A^tA^t = (A^2)^t = A^t, B^tB^t = (B^2)^t = B^t
Portanto
l[(A+B)^tr]^2 = A^t + B^t + B^t + A^t = 2,(A^t + B^t)

Resposta

2,(A^t + B^t), ou seja, alternativa (c).

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