(ITA-SP) Sejam A e B matrizes quadradas de ordem
tais que AB = A e BA = B. Então
é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá duas matrizes quadradas
de ordem
tais que
Pergunta-se por
. Vamos usar propriedades de transposta e explorar as igualdades dadas para simplificar a expansão de
.
Passo 2
Primeiro, escrevemos
Logo
Passo 3
Usamos agora que
e
. Como
e
, tem-se:
Substituindo,
Passo 4
Agora notamos que, a partir de
, multiplica-se à direita por
para obter
mas como
isso dá
, logo
. De modo análogo
implica
.
Assim
Assim
Portanto