(Fuvest-SP) No plano cartesiano, os pontos
(0,3) e (-1,0) pertencem à circunferência C. Uma outra circunferência, de centro em (-1/2, 4), é tangente a C no ponto (0,3). Então, o raio de C vale:
a) \frac{\sqrt{5}}{8}
b) \frac{\sqrt{5}}{4}
c) \frac{\sqrt{5}}{2}
d) \frac{3 \sqrt{5}}{4}
a) \frac{\sqrt{5}}{8}
b) \frac{\sqrt{5}}{4}
c) \frac{\sqrt{5}}{2}
d) \frac{3 \sqrt{5}}{4}
Passo 1
O enunciado diz que a circunferência
passa por
e por
. Além disso, outra circunferência de centro
é tangente a
em
.
Conteúdo: geometria analítica de círculos e condição de tangência.
Vamos precisar de:
Conteúdo: geometria analítica de círculos e condição de tangência.
Vamos precisar de:
- Equação do lugar geométrico dos centros de
(perpendicular bissetriz de ). - Colinearidade dos centros e do ponto de tangência.
- Cálculo de distância e raio.
Passo 2
Como
passa por
e
, seu centro
está na mediatriz do segmento
. O ponto médio de
é
e a reta
tem coeficiente angular
,
logo a mediatriz tem coeficiente . A equação em forma geral é
logo a mediatriz tem coeficiente
Passo 3
Para que as duas circunferências sejam tangentes em
, os centros
,
e o ponto
devem ser colineares. A reta que passa por
e
tem coeficiente
e equação
Passo 4
O centro
vem . Logo
Passo 5
O raio de
é a distância de
a
: