(Fuvest-SP) No plano cartesiano, os pontos
(0,3) e (-1,0) pertencem à circunferência C. Uma outra circunferência, de centro em (-1/2, 4), é tangente a C no ponto (0,3). Então, o raio de C vale:
a) \frac{\sqrt{5}}{8}
b) \frac{\sqrt{5}}{4}
c) \frac{\sqrt{5}}{2}
d) \frac{3 \sqrt{5}}{4}

Passo 1

O enunciado diz que a circunferência C passa por P=(0,3) e por Q=(-1,0). Além disso, outra circunferência de centro M'=(-tfrac12,4) é tangente a C em P.
Conteúdo: geometria analítica de círculos e condição de tangência.
Vamos precisar de:
  1. Equação do lugar geométrico dos centros de C (perpendicular bissetriz de PQ).
  2. Colinearidade dos centros e do ponto de tangência.
  3. Cálculo de distância e raio.

Passo 2

Como C passa por P e Q, seu centro O=(h,k) está na mediatriz do segmento PQ. O ponto médio de PQ é
Ml(-tfrac12,tfrac32r)
e a reta PQ tem coeficiente angular
mPQ=3-00-(-1)=3,
logo a mediatriz tem coeficiente -tfrac13. A equação em forma geral é
x+3y=4

Passo 3

Para que as duas circunferências sejam tangentes em P, os centros O, M' e o ponto P devem ser colineares. A reta que passa por P=(0,3) e M'=(-tfrac12,4) tem coeficiente
mPM'=3-40-(-tfrac12)=-2
e equação
y=-2x+3

Passo 4

O centro
vem . Logo

Passo 5

O raio de C é a distância de O a P:
r = OP = raiz(1-0)^2 + (1-3)^2 = raiz1+4 = raiz5

Resposta

r=raiz5

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