(U.E. Ponta Grossa-PR) Sabendo que os pontos A(-3,-1), B( -2,6 ) e C(5,5) são vértices de um quadrado ABCD, assinale o que for correto:
  1. A área do quadrado vale 50 u.a.
  2. O vértice D tem coordenadas (4, -2).
  3. A circunferência que circunscreve o quadrado tem raio igual a 5 u.c.
  4. A reta suporte da diagonal B D tem equação 4 x+3 y=0.
  5. As diagonais do quadrado se interceptam no ponto (1,2).

Passo 1

O enunciado dá os vértices A(-3,-1), B(-2,6) e C(5,5) de um quadrado ABCD. Precisamos verificar:
  1. área do quadrado,
  2. coordenadas de D,
  3. raio da circunferência circunscrita,
  4. equação da reta suporte da diagonal BD,
  5. ponto de interseção das diagonais.

Passo 2

Calculemos os vetores AB e BC:
AB = B - A = ( -2 - (-3),,6 - (-1) ) = (1,,7),
BC = C - B = (5 - (-2),,5 - 6) = (7,,-1)
As normas são
|AB| = raiz1^2 + 7^2 = raiz50, |BC| = raiz7^2 + (-1)^2 = raiz50,
e o produto interno
ABcdotBC = 1cdot7 + 7cdot(-1) = 0
Logo AB = BC e são perpendiculares, confirmando tratar-se de um quadrado em A!B!C!D.

Passo 3

A área de um quadrado é o quadrado do lado. Como |AB| = raiz50, temos
área = l(raiz50r)^2 = 50 á
Portanto o item 01 é correto.

Passo 4

Num quadrilátero ABCD com ABparal<=l CD e BCparal<=l AD, vale AD = BC e CD = AB. Usando a condição de paralelogramo, D = A + C - B:
D = l(-3,-1r) + l(5,5r) - l(-2,6r) = ( -3+5+2,,-1+5-6 ) = (4,,-2)
Logo o item 02 é correto.

Passo 5

As diagonais de um quadrado se interceptam no ponto médio de qualquer uma delas. O ponto médio de AC é
l(-3+52,,-1+52r) = (1,,2),
que é o centro do quadrado e ponto de interseção das diagonais. Assim o item 16 é correto.

Passo 6

O raio da circunferência circunscrita a um quadrado é metade da diagonal. A diagonal AC tem comprimento
|AC| = raiz(5 - (-3))^2 + (5 - (-1))^2 = raiz8^2 + 6^2 = raiz100 = 10,
logo o raio é 10/2 = 5. O item 04 é correto.

Passo 7

Para a reta suporte de BD, usamos B(-2,6) e D(4,-2). O coeficiente angular é
m = -2 - 64 - (-2) = -86 = -tfrac43
A equação em forma geral: y - 6 = -tfrac43(x + 2). Multiplicando por 3,
3y - 18 = -4x - 8 ;Longrightarrow; 4x + 3y - 10 = 0,
ou seja 4x + 3y = 10. Logo o item 08, que afirmava 4x+3y=0, é falso.

Resposta

01), 02), 04) e 16) estão corretos.

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