(UE-CE) A equação da reta bissetriz do menor ângulo formado pelas retas x-2 y=0 e 2 x-y=0 é dada por:
a) x+y=0
b) x-y=2
c) x+y=2
d) x-y=0

Passo 1

O enunciado pede a equação da bissetriz do menor ângulo entre as retas x - 2y = 0 e 2x - y = 0. O conteúdo aqui é a fórmula das bissetrizes de ângulo entre retas que passam pela origem. Precisamos usar a propriedade de que as bissetrizes satisfazem
A1 x + B1 yraizA1^2 + B1^2 = pm A2 x + B2 yraizA2^2 + B2^2,
onde A1 x + B1 y = 0 e A2 x + B2 y = 0 são as equações das retas.

Passo 2

Para as retas dadas temos A1=1, B1=-2 e A2=2, B2=-1, ambas com norma raiz5. Assim a equação das bissetrizes é
x - 2yraiz5 = pm 2x - yraiz5
e cancelando raiz5 obtemos as duas retas:
x - 2y = 2x - y e x - 2y = -(2x - y)

Passo 3

Resolvendo cada uma:
Da primeira,
x - 2y = 2x - y ;Rightarrow; -x - y = 0 ;Rightarrow; x + y = 0
Da segunda,
x - 2y = -2x + y ;Rightarrow; 3x - 3y = 0 ;Rightarrow; x - y = 0
Portanto as bissetrizes são ,x + y = 0 e ,x - y = 0.

Passo 4

Para identificar qual é do menor ângulo (agudo), escolhemos um ponto de teste em cada bissetriz e avaliamos os sinais em x - 2y e em 2x - y. Por exemplo, em (1, -1) sobre x + y = 0 temos
1 - 2(-1) = 3 > 0, 2cdot1 - (-1) = 3 > 0,
sinais iguais indicam a bissetriz do ângulo agudo. Logo, a bissetriz do menor ângulo é x + y = 0.

Resposta

a) x + y = 0

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