(Fuvest-95) O produto de dois números inteiros positivos, que não são primos entre si, é igual a 825. Então o máximo divisor comum desses dois números é:
a) 1
b) 3
c) 5
d) 11
e) 15
a) 1
b) 3
c) 5
d) 11
e) 15
Passo 1
O enunciado diz que dois inteiros positivos
e
não são primos entre si (ou seja,
) e satisfazem
O que se pede é o valor de
. Vamos usar a técnica de decompor em fatores e a propriedade de que, se
, então podemos escrever
,
com
.
Passo 2
Escrevendo
temos
Logo
deve ser um divisor de
. Para prosseguir, fatoramos
.
Passo 3
Fatoração de
:
Os divisores
tais que
divide
são aqueles cujos fatores ao quadrado cabem em
. Esses candidatos são
pois
dividem
, mas
não.
Passo 4
Como
, descartamos
. Para cada um dos outros:
-
: não é inteiro. -
: não é inteiro. -
: , que é inteiro. Como e podemos escolher ou mantendo , isto funciona.
Resposta
O máximo divisor comum de
e
é
.