(Fuvest-95) O produto de dois números inteiros positivos, que não são primos entre si, é igual a 825. Então o máximo divisor comum desses dois números é:
a) 1
b) 3
c) 5
d) 11
e) 15

Passo 1

O enunciado diz que dois inteiros positivos a e b não são primos entre si (ou seja, gcd(a,b)>1) e satisfazem
acdot b = 825
O que se pede é o valor de gcd(a,b). Vamos usar a técnica de decompor em fatores e a propriedade de que, se d=gcd(a,b), então podemos escrever a=d,m, b=d,n com gcd(m,n)=1.

Passo 2

Escrevendo
a = d,m, b = d,n, gcd(m,n)=1,
temos
acdot b = d^2,m,n = 825
Logo d^2 deve ser um divisor de 825. Para prosseguir, fatoramos 825.

Passo 3

Fatoração de 825:
825 = 3 times 5^2 times 11
Os divisores d tais que d^2 divide 825 são aqueles cujos fatores ao quadrado cabem em 3cdot5^2cdot11. Esses candidatos são
d=1,;3,;5,;11,
pois
1^2=1,;3^2=9,;5^2=25,;11^2=121
dividem 825, mas 15^2=225 não.

Passo 4

Como gcd(a,b)>1, descartamos d=1. Para cada um dos outros:
  • d=3: m,n = dfrac8253^2 = dfrac8259 = 91,666ldots não é inteiro.
  • d=11: m,n = dfrac82511^2 = dfrac825121 = 6,818ldots não é inteiro.
  • d=5: m,n = dfrac8255^2 = dfrac82525 = 33, que é inteiro. Como 33=3cdot11 e podemos escolher (m,n)=(3,11) ou (1,33) mantendo gcd(m,n)=1, isto funciona.

Resposta

O máximo divisor comum de a e b é 5.

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