(UFV-2002) Sejam m e n números naturais com máximo divisor comum diferente de 1 , e tais que o produto entre eles seja igual a 840. Sobre os números m e n é CORRETO afirmar que:
a) um é par e o outro é ímpar.
b) têm mdc igual a 3 .
c) são números pares.
d) são números ímpares.
e) têm mdc igual a 5.
a) um é par e o outro é ímpar.
b) têm mdc igual a 3 .
c) são números pares.
d) são números ímpares.
e) têm mdc igual a 5.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são naturais com
e que
O tema é teoria de divisores e máximo divisor comum. Vamos usar a fatoração de
e a relação entre
e o produto
.
Passo 2
Fatoramos
:
Passo 3
Sejam
. Então existem
e
tais que
Daí
logo
divide
.
Passo 4
Procuramos divisores
de
tais que
também divida
. Para cada primo
que divide
, testamos:
-
divide , mas não divide atenção: aqui só precisamos de , logo satisfaz ( ). - Se
fosse , teríamos . - Se
fosse ou , seus quadrados ( ou ) também não dividem .
Portanto o único
com
é
.
Passo 5
Concluímos que
portanto tanto
quanto
são múltiplos de
, ou seja, ambos são pares.
Resposta
c) são números pares.