(UFV-2002) Sejam m e n números naturais com máximo divisor comum diferente de 1 , e tais que o produto entre eles seja igual a 840. Sobre os números m e n é CORRETO afirmar que:
a) um é par e o outro é ímpar.
b) têm mdc igual a 3 .
c) são números pares.
d) são números ímpares.
e) têm mdc igual a 5.

Passo 1

O enunciado diz que m e n são naturais com gcd(m,n)neq1 e que
m,n = 840
O tema é teoria de divisores e máximo divisor comum. Vamos usar a fatoração de 840 e a relação entre gcd(m,n) e o produto m,n.

Passo 2

Fatoramos 840:
840 = 2^3 cdot 3 cdot 5 cdot 7

Passo 3

Sejam d=gcd(m,n). Então existem m' e n' tais que
m = d,m', n = d,n', gcd(m',n')=1
Daí
m,n = d^2,m',n' = 840,
logo d^2 divide 840.

Passo 4

Procuramos divisores d>1 de 840 tais que d^2 também divida 840. Para cada primo p que divide 840, testamos:
  • 2^2 = 4 divide 840, mas 4^2=16 não divide 840ldots atenção: aqui só precisamos de d^2mid840, logo d=2 satisfaz ( 2^2=4mid840).
  • Se d fosse 3, teríamos 3^2=9nmid840.
  • Se d fosse 5 ou 7, seus quadrados ( 25 ou 49) também não dividem 840.
Portanto o único d>1 com d^2mid840 é d=2.

Passo 5

Concluímos que
gcd(m,n) = 2,
portanto tanto m quanto n são múltiplos de 2, ou seja, ambos são pares.

Resposta

c) são números pares.

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