(Vunesp-2001) Durante um evento, o organizador pretende distribuir, como brindes, a alguns dos participantes, caixas (kits), com mesmo conteúdo, formado de camisetas e chaveiros. Sabe-se que ele possui exatamente 200 camisetas e 120 chaveiros.
a) Decomponha os números 200 e 120 em fatores primos.
b) Determine o número máximo de caixas, com mesmo conteúdo, que o organizador conseguirá formar utilizando todos os chaveiros e camisetas disponíveis.

Passo 1

O enunciado diz que temos exatamente 200 camisetas e 120 chaveiros e queremos montar caixas (kits) todas com o mesmo conteúdo, usando todos os itens disponíveis. O conteúdo da matéria aqui é fatoração em primos e cálculo do máximo divisor comum (mdc) para descobrir quantas caixas idênticas podemos formar.

Passo 2

Vamos decompor 200 em fatores primos. Dividindo sucessivamente por primos:
200 = 2 times 100 = 2 times (2 times 50) = 2^2 times (2 times 25) = 2^3 times 25 = 2^3 times (5 times 5) = 2^3 times 5^2

Passo 3

Agora decompondo 120 em fatores primos:
120 = 2 times 60 = 2^2 times 30 = 2^3 times 15 = 2^3 times (3 times 5) = 2^3 times 3 times 5

Passo 4

O número máximo de caixas corresponde ao máximo divisor comum de 200 e 120. A partir das fatorações:
  • em 200 temos 2^3 e 5^2,
  • em 120 temos 2^3, 3^1 e 5^1.
O mdc toma cada primo com o menor expoente comum:
mdc(200,120) = 2^3 times 5^1 = 8 times 5 = 40

Resposta

a) 200 = 2^3 times 5^2 e 120 = 2^3 times 3 times 5.
b) O número máximo de caixas é 40.

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