Se a, b e c sảo números naturais não nulos, prove que mdc (a, b) é um divisor de mdc (a, bc).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados a,b,c números naturais não nulos, vale
gcd(a,b);m|;gcd(a,bc)
O conteúdo usado aqui é a definição de máximo divisor comum (mdc) como o maior elemento no conjunto dos divisores comuns, no sentido de que todo divisor comum divide o mdc.

Passo 2

Seja
d = gcd(a,b)
Pela definição de mdc, temos
d mid a e d mid b

Passo 3

Como dmid b e c é inteiro, multiplicando pela mesma c obtemos
d mid (bcdot c)
Logo d divide simultaneamente a e b,c, isto é, d é um divisor comum de a e bc.

Passo 4

Pela propriedade fundamental do mdc, qualquer divisor comum de dois números divide o máximo divisor comum desses números. Como d é divisor comum de a e bc, segue que
d mid gcd(a,bc)

Resposta

Portanto
gcd(a,b);m|;gcd(a,bc)

Exercícios de Livros Relacionados