(Fuvest-13) Sócrates e Xantipa enfrentam-se em um popular jogo de tabuleiro, que envolve a conquista e ocupação de territórios em um mapa. Sócrates ataca jogando três dados e Xantipa se defende com dois. Depois de lançados os dados, que são honeslos, Sócrates terá conquistado um território se e somente se as duas condições seguintes forem satisfeitas:
  1. o maior valor obtido em seus dados for maior que o maior valor obtido por Xanlipa;
  2. algum outro dado de Sócrates cair com um valor maior que o menor valor obtido por Xantipa.
    a) No caso em que Xantipa tira 5 e 5 , qual é a probabilidade de Sócrates conquistar o território em jogo?

Passo 1

O enunciado diz que Sócrates ataca com três dados e Xantipa defende com dois. Ele conquista o território se, após os lançamentos, (1) o maior valor de Sócrates for maior que o maior de Xantipa e (2) algum outro dado de Sócrates for maior que o menor de Xantipa. Aqui queremos a probabilidade de Sócrates vencer dado que Xantipa tirou 5 e 5.

Passo 2

Quando Xantipa tira 5 e 5, o maior e o menor valor dela são ambos 5. Então as condições viram:
(1) o maior dado de Sócrates > 5, ou seja, Sócrates precisa ter pelo menos um 6;
(2) “algum outro” dado de Sócrates > 5, isto é, Sócrates precisa ter um segundo 6.
Logo, Sócrates precisa de pelo menos duas faces iguais a 6 entre os três dados.

Passo 3

A probabilidade de Sócrates obter exatamente duas faces 6 em três dados é
P_2 = \binom{3}{2}\biggl(\frac{1}{6}\biggr)^2\biggl(\frac{5}{6}\biggr) = 3\cdot\frac{1}{36}\cdot\frac{5}{6} = \frac{15}{216} = \frac{5}{72}.

Passo 4

A probabilidade de Sócrates obter exatamente três faces 6 é
P_3 = \biggl(\frac{1}{6}\biggr)^3 = \frac{1}{216}.

Passo 5

Somando os dois casos (duas ou três faces 6), a probabilidade desejada é
P = P_2 + P_3 = \frac{15}{216} + \frac{1}{216} = \frac{16}{216} = \frac{2}{27}.

Resposta

A probabilidade de Sócrates conquistar o território, dado que Xantipa tirou 5 e 5, é \displaystyle \frac{2}{27}.

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