(Insper-16) Sorteando-se aleatoriamente un número real x do intervalo [0,2 x], a probabilidade de que cle satisfaça a desigualdade \cos (\mathrm{x}) \leq \operatorname{sen}(x) \leq \cos (2 x) é igual a
a) 1 / 6
b) 4 / 25
c) 5 / 24
d) 1 / 4

Passo 1

O enunciado sorteia x uniformemente em [0,2\pi] e pede a probabilidade de
\cos(x)\le\sin(x)\le\cos(2x).
Vamos resolver as duas inequações trigonométricas separadamente e, em seguida, calcular o comprimento do intervalo em que ambas valem no período [0,2\pi].

Passo 2

Resolvendo \cos(x)\le\sin(x):
\sin(x)-\cos(x)\ge0 \quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt2\,\sin\!\bigl(x-\tfrac\pi4\bigr)\ge0.
Isso ocorre quando
x-\tfrac\pi4\in[0,\pi]+2\pi k \quad\Longrightarrow\quad x\in\bigl[\tfrac\pi4,\tfrac{5\pi}4\bigr] \quad(\text{mod }2\pi).

Passo 3

Resolvendo \sin(x)\le\cos(2x):
\cos(2x)=1-2\sin^2(x),
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\sin(x)-\cos(2x)=2\sin^2(x)+\sin(x)-1\le0.
Seja t=\sin(x). A inequação 2t^2+t-1\le0 tem raízes t=-1 e t=\tfrac12, de modo que
\sin(x)\in[-1,\tfrac12].
No intervalo [0,2\pi] isso equivale a
x\in[0,\tfrac\pi6]\;\cup\;[\tfrac{5\pi}6,2\pi].

Passo 4

Agora fazemos a interseção
\bigl[\tfrac\pi4,\tfrac{5\pi}4\bigr]\;\cap\;\bigl([0,\tfrac\pi6]\;\cup\;[\tfrac{5\pi}6,2\pi]\bigr) =\bigl[\tfrac{5\pi}6,\tfrac{5\pi}4\bigr].
O comprimento desse intervalo é
\tfrac{5\pi}4-\tfrac{5\pi}6 =\tfrac{5\pi}{12}.

Passo 5

Como x é uniforme em [0,2\pi], a probabilidade é
\frac{\tfrac{5\pi}{12}}{2\pi} =\frac{5}{24}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{24}

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