(Fuvest-88) Em um triângulo retângulo OAB , retângulo em \mathrm{O}, \operatorname{com} \mathrm{AO}=\mathrm{a} \mathrm{e} \mathrm{OB}=\mathrm{b}, são dados os pontos P em AO e Q em OB de tal maneira que \mathrm{AP}=\mathrm{PQ}=\mathrm{QB}=\mathrm{x}. Nestas condições o valor de x é:
a) \sqrt{a b}-a-b
b) a+b-\sqrt{2 a b}
c) \sqrt{a^{2}+b^{2}}
d) a+b+\sqrt{2 a b}
e) \sqrt{a b}+a+b

Passo 1

O enunciado dá um triângulo retângulo em \mathrm{O} com catetos \mathrm{OA}=a e \mathrm{OB}=b. Nos pontos P\in\mathrm{AO} e Q\in\mathrm{OB} temos
\mathrm{AP}=\mathrm{PQ}=\mathrm{QB}=x.
O conteúdo aqui é usar geometria analítica e a fórmula da distância no plano para relacionar x, a e b.

Passo 2

Vamos colocar coordenadas:
\mathrm{O}=(0,0), \mathrm{A}=(a,0), \mathrm{B}=(0,b).
Como \mathrm{AP}=x ao longo de \mathrm{AO}, o ponto P fica em
P=(a-x,\,0).
E como \mathrm{QB}=x ao longo de \mathrm{OB}, o ponto Q fica em
Q=(0,\,b-x).

Passo 3

Impondo \mathrm{PQ}=x, usamos a distância entre P e Q:
\sqrt{(a-x-0)^{2}+(0-(b-x))^{2}}=x.
Quadrando, obtemos
(a-x)^{2}+(b-x)^{2}=x^{2}.

Passo 4

Desenvolvendo e rearranjando em função de x:
a^{2}-2a x+x^{2}+b^{2}-2b x+x^{2}=x^{2} \;\Longrightarrow\; x^{2}-2(a+b)x+(a^{2}+b^{2})=0.
Pela fórmula de Bhaskara,
x=\frac{2(a+b)\pm\sqrt{4(a+b)^{2}-4(a^{2}+b^{2})}}{2} =(a+b)\pm\sqrt{(a+b)^{2}-(a^{2}+b^{2})} =(a+b)\pm\sqrt{2ab}.

Passo 5

Como x deve ser menor ou igual a \min(a,b), escolhemos o sinal “ -”. Assim
x = a + b - \sqrt{2ab}.

Resposta

b) \;a+b-\sqrt{2ab}

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