(UFC-98) Dois pontos A e B, que distam entre si 10 cm , encontram-se em um mesmo semiplano determinado por uma reta r. Sabendo que A e B distam 2 cm e 8 cm , respectivamente, de r, determine a medida, em centímetros, do menor caminho para ir-se de A para B passando por r .

Passo 1

O enunciado dá dois pontos A e B num mesmo semiplano de uma reta r, com distâncias
\,d(A,r)=2, \,d(B,r)=8 e \,AB=10. Pede-se o menor caminho de A a B que passe por r, isto é, minimizar AP+PB com P variando em r. Vamos usar o princípio da reflexão, que consiste em refletir um dos pontos em relação à reta para transformar o trajeto refletido em uma distância reta.

Passo 2

Escolhemos um sistema de coordenadas onde r é o eixo x. Assim podemos tomar
A=(0,2), \quad B=(x_B,8).
A diferença vertical entre A e B é 8-2=6, logo pela distância
AB=\sqrt{(x_B-0)^2+(8-2)^2}=\sqrt{x_B^2+6^2}=10
temos
x_B^2+36=100 \quad\Longrightarrow\quad x_B^2=64 \quad\Longrightarrow\quad x_B=8.

Passo 3

Refletimos B em r obtendo
B'=(8,-8).
Pelo princípio da reflexão, o menor caminho AP+PB é igual à distância reta AB':
\min(AP+PB)=AB'=\sqrt{(8-0)^2+(-8-2)^2}.

Passo 4

Calculando a distância:
AB'=\sqrt{64+(-10)^2}=\sqrt{64+100}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}.

Resposta

2\sqrt{41}

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