Um homem tem oportunidade de jogar no máximo 5 vezes na roleta. Em cada jogada, ele ganha ou perde R$1000,00. Começará com R$ 1000,00 e parará de jogar antes de cinco vezes, se perder todo seu dinheiro ou se ganhar R$3000, 00, isto é, se tiver R$ 4000,00. De quantas maneiras o jogo poderá se desenrolar?

Passo 1

O enunciado pede para contar de quantas maneiras o jogo pode se desenrolar, começando com R$ ( unidade), ganhando ou perdendo R$ em cada jogada ( ou unidade), parando quando atingir ou unidades, ou ao completar no máximo jogadas. O conteúdo é contagem de caminhos em uma cadeia de Markov finita (andar aleatório absorvente com horizonte finito).

Passo 2

Vamos representar o capital em unidades de R$ 1000, de modo que os estados possíveis são 0,1,2,3,4, com 0 e 4 absorventes. Definimos:
an(i) = número de caminhos de comprimento (n) que chegam ao estado (iin1,2,3) sem nunca terem atingido 0 ou 4 antes, ú
bn = número de caminhos que atin>=m o estado absorvente (0 ou 4) exatamente na jogada (n) ú

Passo 3

As recursões são, para n>=1:
an(i) = an-1(i-1) + an-1(i+1)(i=1,2,3),
com a0(1)=1, a0(2)=0, a0(3)=0, e
bn(0)=an-1(1), bn(4)=an-1(3), bn = bn(0)+bn(4)
Os caminhos que sobrevivem até n=5 sem absorção são sumi=1^3 a5(i).

Passo 4

Calculamos de n=1 até 5:
Para n=1:
;a1(1)=0,;a1(2)=1,;a1(3)=0,;b1=a1(1)+a1(3)=1+0=1
Para n=2:
;a2(1)=a1(2)=1,;a2(2)=a1(1)+a1(3)=0,;a2(3)=a1(2)=1,;b2=a1(1)+a1(3)=0
Para n=3:
;a3(1)=a2(2)=0,;a3(2)=a2(1)+a2(3)=2,;a3(3)=a2(2)=0,;b3=a2(1)+a2(3)=1+1=2
Para n=4:
;a4(1)=a3(2)=2,;a4(2)=a3(1)+a3(3)=0,;a4(3)=a3(2)=2,;b4=a3(1)+a3(3)=0
Para n=5:
;a5(1)=a4(2)=0,;a5(2)=a4(1)+a4(3)=4,;a5(3)=a4(2)=0,;b5=a4(1)+a4(3)=2+2=4

Passo 5

Total de caminhos que atingem absorção em algum n<=5 é
sumn=1^5 bn = 1+0+2+0+4 = 7
Caminhos que não foram absorvidos em até 5 jogadas (terminam no passo 5 em 1,2 ou 3) são
sumi=1^3 a5(i) = 0+4+0 = 4
Logo, o total de maneiras distintas de o jogo se desenrolar é
7 + 4 = 11

Resposta

11 caminhos possíveis.

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