Um homem tem oportunidade de jogar no máximo 5 vezes na roleta. Em cada jogada, ele ganha ou perde R$1000,00. Começará com R$ 1000,00 e parará de jogar antes de cinco vezes, se perder todo seu dinheiro ou se ganhar R$3000, 00, isto é, se tiver R$ 4000,00. De quantas maneiras o jogo poderá se desenrolar?
Passo 1
O enunciado pede para contar de quantas maneiras o jogo pode se desenrolar, começando com R$
(
unidade), ganhando ou perdendo R$
em cada jogada (
ou
unidade), parando quando atingir
ou
unidades, ou ao completar no máximo
jogadas. O conteúdo é contagem de caminhos em uma cadeia de Markov finita (andar aleatório absorvente com horizonte finito).
Passo 2
Vamos representar o capital em unidades de R$
, de modo que os estados possíveis são
, com
e
absorventes. Definimos:
Passo 3
As recursões são, para
:
com
,
,
, e
Os caminhos que sobrevivem até
sem absorção são
.
Passo 4
Calculamos de
até
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Total de caminhos que atingem absorção em algum
é
Caminhos que não foram absorvidos em até
jogadas (terminam no passo
em
ou
) são
Logo, o total de maneiras distintas de o jogo se desenrolar é