Uma bandeira é formada de 7 listras, que devem ser pintadas de 3 cores diferentes. De quantas maneiras distintas será possível pintá-la de modo que duas listras adjacentes nunca estejam pintadas da mesma cor?

Passo 1

O enunciado pede para pintar 7 listras com 3 cores, de modo que duas listras adjacentes nunca tenham a mesma cor. Esse é um problema de contagem com restrição de cores adjacentes diferentes, que podemos resolver usando uma relação de recorrência (ou o princípio multiplicativo com restrição).

Passo 2

Seja an o número de maneiras de pintar n listras sob essa regra.
  • Para a primeira listra temos 3 escolhas, logo a1 = 3
  • Para cada listra seguinte, como ela não pode repetir a cor da listra imediatamente anterior, temos 2 escolhas de cor. Assim, para n>=2, an = 2 ,an-1

Passo 3

Aplicando a recorrência até n=7, obtemos
a7 = 3 times 2^6 = 3 times 64 = 192

Resposta

192

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