Seja P o conjunto dos pontos de p retas (p
), duas a duas paralelas, de um plano. Seja Q o conjunto dos pontos de
retas, duas a duas paralelas do mesmo plano, concorrentes com as p primeiras. Calcule o número total de paralelogramos de vértices pertencentes ao conjunto
e de lados contidos no conjunto
.
Passo 1
O enunciado dá dois conjuntos de retas num mesmo plano: um conjunto
com
retas todas paralelas entre si e outro conjunto
com
retas todas paralelas entre si, de modo que cada reta de
intersecta todas as de
. Queremos contar todos os paralelogramos cujos vértices estão nos pontos de interseção
e cujos lados são segmentos de retas de
.
Passo 2
As retas de
são paralelas entre si e cada uma delas é cortada pelas
retas de
. Logo, o total de pontos de interseção é
Podemos imaginar uma “grelha” de
linhas de uma direção e
de outra, formando
cruzamentos.
Passo 3
Num paralelogramo, os lados opostos são paralelos. Como só dispomos de duas direções de retas (as de
e as de
), cada paralelogramo usará exatamente duas retas de
para os dois lados paralelos de uma direção e duas retas de
para os lados da outra direção.
Passo 4
Para escolher as duas retas de
fazemos
escolhas e, de forma independente, para escolher as duas retas de
fazemos
escolhas. Cada par de retas de
combinado com cada par de retas de
determina precisamente um paralelogramo. Portanto, o número total de paralelogramos é