Seja P o conjunto dos pontos de p retas (p >= 2 ), duas a duas paralelas, de um plano. Seja Q o conjunto dos pontos de q(q >= 2) retas, duas a duas paralelas do mesmo plano, concorrentes com as p primeiras. Calcule o número total de paralelogramos de vértices pertencentes ao conjunto P cap Q e de lados contidos no conjunto P cup Q.

Passo 1

O enunciado dá dois conjuntos de retas num mesmo plano: um conjunto P com p retas todas paralelas entre si e outro conjunto Q com q retas todas paralelas entre si, de modo que cada reta de Q intersecta todas as de P. Queremos contar todos os paralelogramos cujos vértices estão nos pontos de interseção Pcap Q e cujos lados são segmentos de retas de Pcup Q.

Passo 2

As retas de P são paralelas entre si e cada uma delas é cortada pelas q retas de Q. Logo, o total de pontos de interseção é
|Pcap Q| ;=; p times q
Podemos imaginar uma “grelha” de p linhas de uma direção e q de outra, formando ptimes q cruzamentos.

Passo 3

Num paralelogramo, os lados opostos são paralelos. Como só dispomos de duas direções de retas (as de P e as de Q), cada paralelogramo usará exatamente duas retas de P para os dois lados paralelos de uma direção e duas retas de Q para os lados da outra direção.

Passo 4

Para escolher as duas retas de P fazemos binomp2 escolhas e, de forma independente, para escolher as duas retas de Q fazemos binomq2 escolhas. Cada par de retas de P combinado com cada par de retas de Q determina precisamente um paralelogramo. Portanto, o número total de paralelogramos é
binomp2,binomq2

Resposta

binomp2,binomq2

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