HSMC - Qual é o dígito das unidades de

Passo 1

O enunciado pede o dígito das unidades da soma
1 + 9 + 9^2 + 9^3 + cdots + 9^1988 + 9^1989
O tema aqui é padrão de dígitos das potências de um número e soma de termos, mas como só interessa o dígito das unidades, vamos explorar o ciclo de unidades de 9^k e depois contar quantas vezes cada termo aparece.

Passo 2

Vamos ver o dígito das unidades de 9^k para alguns k:
9^0 = 1 (unidade 1), 9^1 = 9 (unidade 9), 9^2 = 81 (unidade 1), 9^3 = 729 (unidade 9),;dots
Logo, o dígito das unidades de 9^k alterna entre 1 (quando k é par) e 9 (quando k é ímpar). Esse ciclo tem período 2.

Passo 3

No somatório temos k variando de 0 até 1989, ou seja, 1990 termos no total.
  • Índices pares: k=0,2,4,dots,1988. Há tfrac1988-02+1 = 995 termos pares, cada um contribuindo com unidade 1.
  • Índices ímpares: k=1,3,5,dots,1989. Também são 995 termos, cada um contribuindo com unidade 9.

Passo 4

Somamos todas as contribuições só das unidades:
underbrace995cdot1pares ;+;underbrace995cdot9ímpares = 995,(1+9) = 995 times 10 = 9950 í
O dígito das unidades de 9950 é 0.

Resposta

0

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