CEFETEQ - Determine o menor número natural pelo qual devemos multiplicar 3.675, para obtermos um cubo perfeito.

Passo 1

O enunciado pede o menor número natural k tal que 3675 times k seja um cubo perfeito. Para isso, vamos usar fatoração em números primos e a condição de que, num cubo perfeito, todos os expoentes na fatoração devem ser múltiplos de 3.

Passo 2

Fatoremos 3675 em primos dividindo sucessivamente:
3675 = 5 times 735 = 5^2 times 147 = 5^2 times (3 times 49) = 3 times 5^2 times 7^2

Passo 3

Num cubo perfeito, cada primo deve aparecer com expoente congruente a 0 módulo 3. Atualmente temos:
– o primo 3 com expoente 1, precisa de mais 2 para chegar a 3;
– o primo 5 com expoente 2, precisa de mais 1 para chegar a 3;
– o primo 7 com expoente 2, precisa de mais 1 para chegar a 3.

Passo 4

O menor multiplicador k traz exatamente esses fatores extras:
k = 3^2 times 5^1 times 7^1 = 9 times 5 times 7 = 315
De fato,
3675 times 315 = 105^3,
que é um cubo perfeito.

Resposta

315

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